Question

alguien me ayude soy coronita ​

Answer 1

Respuesta:

$6) \frac{1}{2}x+\frac{1}{16}sen(8x)+C\\\\7)\frac{1}{2}sen(2x) -\frac{1}{6} sen^{3}(2x)+C$

Explicación:

En estas integrales, cuando las potencias de las funciones $sen(x)$ y $cos(x)$ son pares, se utilizan las identidades trigonométricas del doble de un ángulo.

$sen^{2}(v)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos(2v)\\\\cos^{2}(v)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos(2v)$

por lo tanto

$\int cos^{2}(4x) \, dx =\int [\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos(8x) ] \, dx =\frac{1}{2} \int dx +\frac{1}{2}\int cos(8x) \, dx$

$=\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}sen(8x)+C$

en aquellas integrales cuya función seno o coseno sea una potencia impar, se realiza la separación en potencias pares y siempre sobra una lineal, la cual funcionará como diferencial; el resto se transforma mediante las siguientes identidades trigonométricas:

$sen^{2}(x)=1-cos^{2}(x) \\\\cos^{2}(x)=1-sen^{2}(x)$

de la siguiente integral

$\int cos^{3}(2x) \, dx$

se separa la potencia de la siguiente manera

$\int cos^{3}(2x) \, dx=\int cos^{2}(2x) cos(2x) \, dx$

se sustituye $cos^{2}(2x) =1-sen^{2}(2x)$, de esta forma

$v=sen(2x)\,\,\,\,\,\,\,dv=2cos(2x)$

$\int cos^{3}(2x) \, dx=\int cos^{2}(2x) cos(2x) \, dx=\int [1-sen^{2}(2x) ]cos(2x) \, dx$

$=\frac{1}{2} \int (1-v^{2} )\,dv= \frac{1}{2}\int \, dv-\frac{1}{2} \int v^{2} \, dv =\frac{1}{2}v-\frac{1}{6} v^{3}+C$

$\frac{1}{2}sen(2x) -\frac{1}{6} sen^{3}(2x)+C$