Question

Alguien me ayuda con esta integral


$\int x.arctanx.dx$

Answer 1

Hola...!! , Veamos

                          INTEGRACIÓN POR PARTES

 

para conocer el método de integración por partes se debe tener un solido conocimiento de su definición la cual enuncia lo siguiente

                                         $\int u.dv=u.v-\int u.dv$  

¿Cómo se a ello ?

bueno , siempre tenemos que tener presente la regla de derivación  en este caso utilizare la regla del producto

                                          $d(u.v)=du.v+u.dv$

integramos en ambos lados

                                         $\int d(u.v)=\int du.v+ \int u.dv$

recordar : ∫dw= w+C

                                         $u.v=\int du.v+ \int u.dv$

pasando a restar :  

                                        $u.v-\int u.dv=\int du.v$

EJEMPLO :

                                       $\int arctan(x).xdx$

Aquí se utilizara el conocido método de ILATE

ILATE: (Inversa , Lorítmica , Algebraica , Trigonométrica , Exponencial )

en ese orden

en el ejercicio tenemos ( x : algebraica) y (arctan(x): inversa)

¿Para que ello?

porque cuando tenemos ejercicios de integración por partes tenemos que asignar un "u" y un "dv" --> arbitrarios

y para elegir bien el u y dv se utiliza el método de ILATE pero siempre teniendo respetando el lugar del nombre

obs: no siempre el método ILATE es manejable para cierto ejercicios no cumple pero son limitados así que generalmente se cumple

Ahora como en el ejercicio aparece Algebraica primero y después inversa es necesario rescribir al problema para aplicar el método ILATE

entonces queda :

                                      $\int arctan(x).xdx$

Ahora SI aplicamos

                           $u= arctan(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dv=xdx\\du=\cfrac{1}{1+x^{2} } .dx \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int dv= \int x.dx\\du=\cfrac{1}{1+x^{2} } .dx \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v= \cfrac{x^{2} }{2}$

Aplicamos el método de integración por partes

                         $\int arctan(x).xdx = u.v- \int v.du\\ \\ \int arctan(x).xdx = arctan(x).\cfrac{x^{2} }{2} - \int \cfrac{x^{2} }{2} .\cfrac{1}{1+x^{2} } .dx\\\\ \int arctan(x).xdx = arctan(x).\cfrac{x^{2} }{2} - \cfrac{1}{2}. \int \cfrac{x^{2} }{1+x^{2} } .dx$  

   mediante fracciones parciales desapareceremos la integral racional para  

  convertir dicha integral en una integral inmediata

                        $\int arctan(x).xdx = arctan(x).\cfrac{x^{2} }{2} - \cfrac{1}{2}. \int \cfrac{x^{2}+1-1 }{1+x^{2} } .dx\\\\ \int arctan(x).xdx = arctan(x)\cfrac{x^{2} }{2} - \cfrac{1}{2}. \int 1.dx-\cfrac{1 }{1+x^{2} } .dx\\\\ \int arctan(x).xdx = arctan(x).\cfrac{x^{2} }{2} - \cfrac{x}{2} +\cfrac{1}{2} .\int \cfrac{1}{1+x^{2} } .dx$

recordar : ∫1/(1+x²) = arctanx + C

                        $\int arctan(x).xdx = arctan(x).\cfrac{x^{2} }{2} - \cfrac{x}{2} + \cfrac{arctan(x)}{2} +C$

C: cte de integración  , se le coloca porque la integral es indefinida

Un cordial Saludo .