Question

Al resolver la siguiente ecuación y determinar el valor de x, el estudiante determina el valor de presión en Bar con la cual operará el sistema:

(x+3)^2-3x(x-1)^2+(2x-1)(2x+1)=0

Answer 1

El valor aproximado de la solución es 4.07294

Para hallar el valor de x, simplemente debemos expandir el polinomio y utilizar el método de Newton para aproximar los resultados

Primero vamos a ver cada una de las expresiones de individualmente y luego la sumamos

(x+3)² = x² + 6x + 9

-3x(x-1)² = -3x(x² -2x + 1) = -3x³ + 6x² - 3x

(2x-1)(2x+1) = (2x)² - 1² = 4x² - 1

-3x³  +  6x² -  3x

       +    x²  + 6x  +  9

           4x²           -   1

---------------------------------

-3x³ + 11x² + 3x + 8

Si queremos hallar la(s) raíz(ces) de este polinomio debemos utilizar el método de Newton para lograrlo.

Este consiste en lo siguiente:

Teniendo una aproximación a la raíz x0, podemos aproximar la solución de manera iterativa de la siguiente manera

$x_n = x_{n-1} - \frac {f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}$

Donde f es el polinomio y f' la derivada del polinomio. En nuestro caso

f(x) = -3x³ + 11x² + 3x + 8

f'(x) = -9x² + 22x + 3

Vamos a intentar con una aproximación inicial de x0 = 4, es decir

$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 4 - \frac{-3(4)^3 + 11(4)^2 + 3(4)+8}{-9(4)^2 + 22(4)+3} = 4+\frac{4}{53} \approx 4.0754$

Luego hacemos lo mismo

$x_2 = 4.0754 - \frac{-3(4.0754)^3 +11(4.0754)^2 + 3(4.0754) + 8}{-9(4.0754)^2 + 22(4.0754) + 3} = 4.0754 - \frac{-0.13961}{-56.8211}  \approx 4.07294$

Vemos que con esta segunda aproximación, el resultado es

f(4.07294) = -3(4.07294)³ + 11(4.07294)² + 3(4.07294) + 8 = 0.000009735, lo que nos da una cierta confianza de nuestra aproximación