Question

Al resolver la ecuación diferencial homogénea: (y-y^2/x)dx=xdy, la solución general y particular cuando y(1)=1, viene dada por:

a. y=C/(ln|x|+x)
b. y=x/(ln|x|+C)
c.y=1/(ln|x|+x)
d.y=x/(ln|x|+1)

Answer 1

Para poder saber cual e las opciones es la correcta, debemos resolver la EDH. 

$(y-\frac{ y^{2}} {x}) dx = xdy$

Dejamos a un solo lado de la igualdad dy/dx; y buscamos que dy/dx nos quede como una función de y/x. 

$\frac{ y- \frac{ y^{2}} {x}} {x} = \frac{dy} {dx}$

$\frac{y} {x} - (\frac{y} {x})^{2} = \frac{dy} {dx}$

Vamos a realizar ahora un cambio de Variable : 

$\frac{y} {x} = P$


$y= P.x$

$\frac{dy} {dx} = \frac{dP} {x} x + P$

Sustituyendo: 

$P - P^{2} = \frac{dP} {x} x + P$

$- P^{2}= \frac{dP} {x} x$

Ahora vamos a separar las variables: 

$\frac{1} {x} dx = \frac{-1} { P^{2}} dp$

Integrando a ambos lados de la igualdad: 

$\int \frac{1} {x} dx = \int \frac{-1} { P^{2}} dp$

$Ln|x| +C = \frac{1} {P}$

Devolvemos el cambio de variable: $P= \frac{y} {x}$

$Ln|x| +C = \frac{x} {y}$

$y= \frac{x} {Ln|x| + C}$

Como podemos notar la respuesta correcta es la opción "b".