Al principio de un experimento se encontró que en un cultivo de bacterias había 10.000 individuos. Se observó el crecimiento de la población y se encontró que en un tiempo posterior t(horas) después de empezado el experimento, el tamaño de la población p(t) se podía expresar por la fórmula: p(t)= 2500(2+t)^2.
p´(t)=lim┬(h→0)〖(p(t+h)-p(t))/h〗
Determine desde los límites la fórmula de la razón de crecimiento de la población en cualquier tiempo t y en particular calcule la razón de crecimiento para t = 15 minutos y para t = 2 horas.
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Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Calculando el límite tenemos:
lim h-> 0 2500(2+t+h )^2 - 2500(2+t)^2/h
evaluando el límite tenemos que:
L= 2500(2+t)²-2500(2+t)²/h
de modo que L = 0/0
aplicamos l`hopital:
lim h-> 0 2* 2500 h (2+t+h )
Entonces evaluando el límite ahora tenemos que:
L=0
La razón de crecimiento para t = 15 minutos y para t = 2 horas es de 62,5%
Explicación:
Debemos encontrar la derivada de la expresión utilizando la definición por limite, tenemos que:
p'(t) = lim(h→0) [p(t+h)-p(t)]/h
Ahora buscamos cada parámetro, tenemos que:
p(h+t) = 2500·(2+t+h)²
p(t) = 2500(2+t)²
Simplificamos:
p(t) = 2500(4+4t+t²)
p(h+t) = 2500(4+4t+4h+t²+2·t·h+h²)
Ahora procedemos a simplificar:
p(h+t) - p(t) = 2500[4 + 4t + 4h +t²+ 2th + h² - 4 - 4t -t²)
p(h+t) - p(t) = 2500[4h + 2th + h²]
Sacamos factor común h y tenemos que:
p(h+t) - p(t) = 2500h(4+2t+h)
Ahora buscamos el limite, tenemos que:
p'(t) = lim(h→0) [p(t+h)-p(t)]/h
p'(t) = lim(h→0) 2500h(4+2t+h)/h
p'(t) = 5000(2+t) → Derivada de la función
El tamaño de la población p(t) se podía expresar por la fórmula:
p(t)= 5000(2+t)
p(0.25h) =5000(2+0.25) = 12500 bacterias
p(2h) = 5000(2+2) = 20000 bacterias
La razón de crecimiento para t = 15 minutos y para t = 2 horas.
Razón = 12500/2000 = 62,5%
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