Al multiplicar un número por 3, su número de divisores aumenta en 4; si se Ie divide entre 7, su número de divisores disminuye en 3. Hallar el número.
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3
Un número entero, en general, puede escribirse como el producto de sus factores primos elevados, cada uno, a un exponente.
Por ejemplo: 500 = (2^2)(5^3).
Sea, entonces, N un número entero cualquiera, tenemos que puede escribirse como: N = (A^a)(B^b)(C^c) .....
El número de divisores del número N, será igual al producto de los exponentes de cada factor primo aumentados en una unidad (es un teorema).
Es decir, el número de divisores de N será (a+1)(b+1)(c+1) ...Vamos a aplicar ese teorema a nuestro caso.
Empecemos con la segunda parte:
Si el número es divisible entre 7, significa que puede escribirse como (7^n) [(A^a)(B^b)(C^c)...] el cual tiene:
(n+1) [(a+1)(b+1)(c+1)...] divisores
Al dividirlo entre 7, el cociente será: (7^(n-1))* [ ....], donde [...] repersenta todo lo que está enre corchetes arriba, se tiene:
[....](n-1+1) divisores.
Y la diferencia será: [...](n+1) - [....](n) = [...](n+1-n) = [...] Y esa diferencia es 3 (ya que el enunciado dice que el número de divisores disminuye en 3).
Por tanto, tenemos [...] = 3.
Analicemos que ese número, 3, se obtiene como el producto de una serie de factores como (a+1)(b+1)(c+1), como 3 es primo la única solución posible es que exista un sólo factor igual a 3.
Sea ese factor a+1 = 3 => a = 3 - 1 = 2.
Por lo que nuestro número es de la forma (7^n) (A^2).
Ahora vamos a usar el dato de que el número al multiplicarlo por 3 incrementa el número de divisores en 4.
Hay dos casos que considerar: 1) que A es distinto de 3 y 2) que A es igual a 3.
Si A es distinto de 3. La cantidad de divisores del nuevo número serán:
(n+1)(2+1)(1+1) = 6(n+1)
Y la diferencia con la cantidad de divisores del número original será:
6(n+1) - (n+1)(2+1) = 6(n+1) - 3(n+1) = 3(n+1) = 3n + 3 = 4 (porque el incremento en el número de divisores es 4)
Por tanto 3n = 4 - 3 = 1 => n = 1/3, lo cual es imposible porque los exponentes tienen que ser enteros.
Entonces solo nos queda la posibilidad de que A = 3 y el número es (7^n)(3^2)
Cuando ese número se multiplica por 3, queda en (7^n)(3^3) y la cantidad de divisores es: (n+1) (3+1) = 4(n+1).
La cantidad de divisores de (7^n)(3^2) es (n+1)(2+1) = 3(n+1); por tanto, el incremento es:
4(n+1) + 3(n+1) = n+1 = 4 => n = 3 y el número buscado es:
(7^n)*(3^2) = (7^3)(3^2)
Eso es equivalente a 343*9 = 3087.
Respuesta: (7^3)(3^2) = 3087
Puedes comprobar, usando el teorema del número de divisores de un número, que, efectivamente, al aplicar las operaciones que indica el enunciado al numero (7^3)(3^2) se cumplen las condiciones planteadas.
Por ejemplo: 500 = (2^2)(5^3).
Sea, entonces, N un número entero cualquiera, tenemos que puede escribirse como: N = (A^a)(B^b)(C^c) .....
El número de divisores del número N, será igual al producto de los exponentes de cada factor primo aumentados en una unidad (es un teorema).
Es decir, el número de divisores de N será (a+1)(b+1)(c+1) ...Vamos a aplicar ese teorema a nuestro caso.
Empecemos con la segunda parte:
Si el número es divisible entre 7, significa que puede escribirse como (7^n) [(A^a)(B^b)(C^c)...] el cual tiene:
(n+1) [(a+1)(b+1)(c+1)...] divisores
Al dividirlo entre 7, el cociente será: (7^(n-1))* [ ....], donde [...] repersenta todo lo que está enre corchetes arriba, se tiene:
[....](n-1+1) divisores.
Y la diferencia será: [...](n+1) - [....](n) = [...](n+1-n) = [...] Y esa diferencia es 3 (ya que el enunciado dice que el número de divisores disminuye en 3).
Por tanto, tenemos [...] = 3.
Analicemos que ese número, 3, se obtiene como el producto de una serie de factores como (a+1)(b+1)(c+1), como 3 es primo la única solución posible es que exista un sólo factor igual a 3.
Sea ese factor a+1 = 3 => a = 3 - 1 = 2.
Por lo que nuestro número es de la forma (7^n) (A^2).
Ahora vamos a usar el dato de que el número al multiplicarlo por 3 incrementa el número de divisores en 4.
Hay dos casos que considerar: 1) que A es distinto de 3 y 2) que A es igual a 3.
Si A es distinto de 3. La cantidad de divisores del nuevo número serán:
(n+1)(2+1)(1+1) = 6(n+1)
Y la diferencia con la cantidad de divisores del número original será:
6(n+1) - (n+1)(2+1) = 6(n+1) - 3(n+1) = 3(n+1) = 3n + 3 = 4 (porque el incremento en el número de divisores es 4)
Por tanto 3n = 4 - 3 = 1 => n = 1/3, lo cual es imposible porque los exponentes tienen que ser enteros.
Entonces solo nos queda la posibilidad de que A = 3 y el número es (7^n)(3^2)
Cuando ese número se multiplica por 3, queda en (7^n)(3^3) y la cantidad de divisores es: (n+1) (3+1) = 4(n+1).
La cantidad de divisores de (7^n)(3^2) es (n+1)(2+1) = 3(n+1); por tanto, el incremento es:
4(n+1) + 3(n+1) = n+1 = 4 => n = 3 y el número buscado es:
(7^n)*(3^2) = (7^3)(3^2)
Eso es equivalente a 343*9 = 3087.
Respuesta: (7^3)(3^2) = 3087
Puedes comprobar, usando el teorema del número de divisores de un número, que, efectivamente, al aplicar las operaciones que indica el enunciado al numero (7^3)(3^2) se cumplen las condiciones planteadas.
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