Question

Al lanzar una piedra verticalmente hacia arriba desde el suelo, esta sube hasta cierto punto
y después empieza a caer. Si la altura de esta piedra está modelada por la función
cuadrática h definida en los reales, dada por la regla de formación siguiente:
h(x) = -5t? + 20t, donde h representa la altura en metros y t el tiempo en segundos. ¿Cual es la altura máxima que alcanza la piedra cuánto tarda en alcanzar la altura máxima y cuánto tarda en caer al piso?

Answer 1

Respuesta:

• $h_{max}=20m$
• $t=4s$

Explicación paso a paso:

¡Hola!, muy sencillo, partiremos desde la función inicial.

Datos:

$h(x)=-5t^2+20t\\v_f=0\frac{m}{s}$

Donde "$h$" es la altura en metros "$m$" y "$t$" el tiempo en segundos "$s$".

La derivada de la posición respecto al tiempo es la velocidad, por lo que:

$v=\frac{d}{dt}(-5t^2+20t)=-10t+20$

La velocidad inicial es desconocida, sin embargo, la velocidad final siempre es cero, pues es el punto de retorno del objeto, por lo que igualamos la función velocidad a cero.

$-10t+20=0\\-10t=-20\\t=\frac{-20}{-10}=2$

Siendo $2s$ el tiempo que tomara llegar a la velocidad cero, que es la velocidad de la piedra en la altura máxima, ahora sustituimos el tiempo que nos tomara llegar a la altura máxima en la ecuación de posición original.

$-5(2)^2+20(2)=-5(4)+20(2)\\-20+40=20$

Por lo que la altura máxima es $20m$

El tiempo de subida es el mismo que el tiempo de bajada, por lo tanto, intuitivamente podemos deducir que el tiempo que tarda en bajar es $4s$, sin embargo, esto se puede demostrar encontrando el tiempo total despejándolo de la ecuación de posición original.

Igualaremos a cero la ecuación por que hay dos momentos en los que la piedra esta en la posición original, cuando el tiempo vale 0 (no se ha lanzado) o cuando el tiempo vale "$t_2$" que es la variable que vamos a despejar.

$-5t^2+20t=0$

Tenemos una ecuación cuadrática que podemos operar con la fórmula general.

$x=\frac{-b+-\sqrt{b^2-4ac} }{2a}=\frac{-(20)+-\sqrt{(20)^2-4(-5)(0)} }{2(-5)} \\=\frac{-(20)+-\sqrt{(20)^2-4(-5)(0)} }{2(-5)}=\frac{-20+-\sqrt{400} }{-10}=\frac{-20+-(20)}{-10}\\x_1=\frac{-40}{-10}=4\\x_2=\frac{0}{-10}=0$

Como puedes ver, 4 es el doble exacto de 2, que es el tiempo que la piedra tardo en subir.

Espero haberte ayudado, saludos.