Question

Al hallar el determinante de la matriz (0 -3 -114 -2 -553) por la regla de Laplace se selecciona la columna 1 porque: A) Uno de sus elementos es el cero. B) Tiene elementos comunes. C) Forma parte de la diagonal principal. D) La matriz es invertible.​

Answer 1

Tenemos que, basándonos en el determinante de la matriz usando la regla de Laplace, dada por la siguiente expresión

                             $A =\begin{pmatrix}0&-1&-5\\ -3&4&5\\ -1&-2&3\end{pmatrix}$

Podemos responder las siguientes preguntas

• Pregunta 1: ¿Cuál es el determinante de la matriz $A$?
  
  El determinante de la matriz $A$ se encuentra dado por $det(A) = -54$
  
  
• Pregunta 2:¿Cuál columna seleccionamos primero según la regla de Laplace?
  
  Seleccionamos la primera columna, dado que su primer elemento es cero
  

¿Qué es la regla de Laplace para determinantes?

La regla de Laplace consiste en un método de cálculo para determinantes de matrices cuadradas de 3x3 o mayor, es decir, matrices con mismo número de filas y columnas mayores o igual a 3

Para el caso de matrices 3x3 tenemos el siguiente esquema

                                $\det \begin{pmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{pmatrix}=a\cdot \det \begin{pmatrix}e&f\\ h&i\end{pmatrix}-b\cdot \det \begin{pmatrix}d&f\\ g&i\end{pmatrix}+c\cdot \det \begin{pmatrix}d&e\\ g&h\end{pmatrix}$

Donde los valores dentro de la matriz representan sus elementos y $det()$ representa el determinante, el determinante para matrices de 2x2 se calcula mediante la siguiente regla

                                   $\det \begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix} = ad - bc$

En consecuencia, podemos responder las siguientes preguntas

• Pregunta 1: ¿Cuál es el determinante de la matriz $A$?
  
  El determinante de la matriz $A$ se encuentra dado por $det(A) = -54$
  
  Dado que tomamos $A =\begin{pmatrix}0&-1&-5\\ -3&4&5\\ -1&-2&3\end{pmatrix}$ sustituyendo en el esquema de la regla de Laplace obtenemos lo siguiente
  
  $0\cdot \det \begin{pmatrix}4&5\\ -2&3\end{pmatrix}-\left(-1\right)\det \begin{pmatrix}-3&5\\ -1&3\end{pmatrix}-5\cdot \det \begin{pmatrix}-3&4\\ -1&-2\end{pmatrix}$
  
  Donde cada determinante reducido de 2x2 tiene los siguientes resultados
  
  
  $\det \begin{pmatrix}-3&5\\ -1&3\end{pmatrix} = -4$
  
  $\det \begin{pmatrix}-3&4\\ -1&-2\end{pmatrix} = 10$
  
  Sustituyendo obtendremos el resultado del determinante
  
  $0\cdot \:22-\left(-1\right)\left(-4\right)-5\cdot \:10 = -54$
  
  
• Pregunta 2:¿Cuál columna seleccionamos primero según la regla de Laplace?
  
  Seleccionamos la primera columna, dado que su primer elemento es cero, dado que el resultado del primer determinante se anula, esto nos reduce los cálculos
  
  Es decir, cuando calculamos $0\cdot \det \begin{pmatrix}4&5\\ -2&3\end{pmatrix}$ no es necesario calcular el determinante, dado que el cero hará que el resultado nos dé cero, por lo cual, reducimos la cantidad de cálculos a realizar
  
  
  

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