Al dividir 10475 y 4312 por un cierto número entero, se tiene por restos 10 y 11 respectivamente. ¿Cuál es el mayor divisor que cumple con esa condición
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Olaa
El enunciado nos dice:
Al dividir 10475 entre 'n' el resto es 10
Al dividir 4312 entre 'n' el resto es 11
Debemos averiguar el mayor 'n' que cumple la condición. El enunciado nos permite plantear 2 congruencias:
10475 ≡ 10 (mod n) [Congruencia 1]
4312 ≡ 11 (mod n) [Congruencia 2]
De la congruencia 1, podemos deducir que:
10475 - 10 ≡ 0 (mod n)
→ 10465 ≡ 0 (mod n)
→ n | 10465
De la congruencia 2 tenemos que:
4312 - 11 ≡ 0 (mod n)
→ 4301 ≡ 0 (mod n)
→ n | 4301
Entonces, tenemos que 'n' divide tanto a 4301 como a 10465. Debemos averiguar el mayor número que cumple esa propiedad. Es decir... debemos calcular el mayor número que divide tanto a 4301 como a 10465: max{n : n | 4301 ^ n | 10465}. Para nuestra fortuna, ese divisor tiene nombre y un estudio previo detrás; es el máximo común divisor de 2 números. Con lo cuál, la tarea se resume en calcular el mcd(4301 , 10465) , y ese será nuestro 'n'.
4301 = 11 • 17 • 23
De sus factores primos, el único que divide a 10465 es el 23. Por lo tanto, el único divisor común (además del 1) entre 4301 y 10465 es 23. Entonces:
mcd(4301 , 10465) = 23
Respuesta: n = 23. El mayor divisor que cumple con el enunciado es 23.
Saludos! :)