Question

Al calentar un resorte, su “constante” decrece. Suponga que el resorte se calienta de modo que la “constante” en el instante t es k(t)=6-t N/m (véase la figura). Si el sistema masa-resorte sin forzamiento tiene masa m=2kg y una constante de amortiguamiento b=1Ns/m con condiciones iniciales x(0)=3m y x´(0)=0, entonces el desplazamiento x(t) queda descrito mediante el problema de valores iniciales !

Answer 1

Se adjunta la imagen correspondiente a la situación. Sea:

 

x (t): Posición del resorte

x' (t): Velocidad del resorte

x'' (t): Aceleración del resorte

La situación plantea la siguiente ecuación:

mx'' + bx' + kx = 0

2x'' + x' + (6 - t)x = 0

Reemplazando los valores iníciales en la ecuación diferencial:

2x'' + 0 (6 - 0) × 3 = 0
2x'' + 18 = 0

Se obtiene: x'' (0) = -9

Derivando respecto a t la ecuación diferencial:

2x''' + x'' + (-1) × (x) + (6 - t) × (x') = 0
2x''' + x'' - x + (6 - t)x' = 0

Reemplazando los valores iníciales en la expresión anterior:

2x''' - 9 - 3 + (6 - 0) × (0) = 0
2x''' - 12 = 0

Se obtiene que: x''' = 6

Derivando nuevamente respecto a t: 2x⁴ + x³ + (6 - t)x² = 0

Reemplazando las condiciones iníciales en la expresión anterior:

2x⁴ + 6 + (6 - 0) × -9 = 0

2x⁴ + 6 - 54 = 0
2x⁴ - 48 = 0

Se obtiene que: x⁴ (0) = 24

Se debe emplear la serie de Taylor, para aproximar un polinomio de 4 términos (el cual se puede visualizar en la segunda imagen)

Para los 4 primeros términos se obtiene:

$P_{4}(t) = 3- \frac{9}{2} t^{2} + t^{3} + t^{4} +...$