Question

Al calcular la suma: (1+ 4i) + (-2 – 2i) se obtiene uno de los indicados a continuación. Determine cuál de ellos es. Proporcione los procedimientos realizados.


Calcular la suma indicada y elija el resultado correcto de los dados a continuación 2(cos⁡〖π/3〗 – isen π/3 ) + (3 – 4 i√3) Proporcione los procedimientos realizados.






Sean los números complejos z_1=(1,-1) y z_2=(-3,4). Calcular el producto z_1 z_2 y elija el resultado correcto. Proporcione los procedimientos realizados.


Empleando la notación de Euler resuelva el producto de estos dos números complejos:
z_1=3(cos⁡〖2π/3〗 + isen 2π/3 ); z_2=2 ( cos⁡〖π/6〗 + isen π/6 )
Elija el resultado correcto. Proporcione los procedimientos realizados.





Al calcular el cociente (1+i)/(1-i) se obtiene uno de los resultados mostrados a continuación. Elija el resultado correcto. Proporcione los procedimientos realizados.

Calcular el cociente de la división indicada a continuación (3-2i)/(3+2i)
Elija el resultado correcto. Proporcione los procedimientos realizados.

Answer 1

Las Operaciones con números complejos propuesto tienen las siguiente solución

Un número complejo es de la forma:  

a+ib  

La parte real de este número complejo es a y la parte imaginaria  es b.

Operaciones con números complejos

Importante i*i=-1

Suma de números complejos

(a+ib)+(c+id)=(a+c)+(b+d)i

Restas de números complejos

(a+ib)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

Multiplicación de números complejos

(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

Divisiones de números complejos

Para simplificar la operación se procede de la siguiente forma:

\frac{a+bi}{c+di}=(\frac{a+bi}{c+di})(\frac{c-di}{c-di})=[\frac{(ac+db)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2} }

Se llama identidad de Euler a una fórmula desarrollada por Leonhard Euler.  

La formula de Euler se define de la siguiente manera:  

re^{i\alpha } =r(cos(\alpha  )+isen(\alpha ))

Donde r es el radio y alpha el angulo barrido.

Resolviendo

1.) (1+ 4i) + (-2 – 2i)

(1+ 4i) + (-2 – 2i)=-1-2i

2.) 2(cos⁡〖π/3〗 – isen π/3 ) + (3 – 4 i√3)

Calculamos los cosenos y senos

cos⁡〖π/3〗=1/2

sen π/3=√3/2

2(cos⁡〖π/3〗 – isen π/3 ) + (3 – 4 i√3) =2(1/2-i√3/2)+(3 – 4 i√3)=1-i√3+3-4 i√3

2(cos⁡〖π/3〗 – isen π/3 ) + (3 – 4 i√3) =4-i5√3

3.) Sean los números complejos z_1=(1,-1) y z_2=(-3,4). Calcular el producto z_1 z_2

z_1=(1-i)

z_2=(-3+4i)

z_1*z_2=(1-i)*(-3+4i)=-3+4i+3i+4=1+7i

4.) Empleando la notación de Euler resuelva el producto de estos dos números complejos:

z_1=3(cos⁡〖2π/3〗 + isen 2π/3 ); z_2=2 ( cos⁡〖π/6〗 + isen π/6 )

Se plantean la siguientes funciones (en este caso se corrige el ejercicio propuesto pues como se ve en la definición te falto el signo (+) :D):

Z_{1}=3(cos(\frac{2\pi }{3}) + isen(\frac{2\pi }{3}))

Z_{2}=2(cos(\frac{\pi }{6}+isen(\frac{\pi }{6}))

Ahora solo queda usar la formula de Euler antes de aplicar el producto.

 

Si nos fijamos en Z1 y la formula de Euler (segundo miembro) son similares, son que el radio de Z1 es r=3 y \alpha =\frac{2\pi }{3}, entonces Z1 se puede escribir:

Z_{1}=3e^{i2\frac{\pi }{3} }

 

y para Z2 el radio es r=2 y \alpha =\frac{\pi }{6}, entonces se puede escribir:

Z_{2}=2e^{i\frac{\pi }{6} }

Solo queda aplicar Z1*Z2

(3e^{i2\frac{\pi }{3}})*(2e^{i\frac{\pi }{6} })=6e^{i(\frac{2\pi }{3} + \frac{\pi }{6} )}

Recuerda: Las propiedades los exponente cuando tiene una multiplicación cuya base es igual se deja la misma base y se suma los exponentes.

Solo queda sumar la fracción y obtienes el resultado:

Z_{1} * Z_{2} = 6e^{i(\frac{5\pi }{6} )}

5.) Al calcular el cociente (1+i)/(1-i)

\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+i+i-1}{1+i-i+1}=\frac{2i}{2}=i

6.) Calcular el cociente de la división indicada a continuación (3-2i)/(3+2i)

\frac{(3-2i)}{(3+2i)}=\frac{(3-2i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}=\frac{9-6i-6i-4}{9-6i+6i+1}=\frac{5-12i}{10}

\frac{(3-2i)}{(3+2i)}=1/2-12/10i