Question

aiuda plissssssssssssssssssssssss es pa' mañana ;-;
(No respondas si no sabes porque reporto)

En un instituto hay 64 alumnos y 80 alumnas entre todos los grupos. Se quiere organizar a esos alumnos en varios grupos, de forma que en cada grupo haya el mismo número de chicos y el mismo número de chicas sin que sobre ningún alumno.
1. ¿Qué tamaño puede tener como mínimo cada grupo?
2. ¿Cuántos grupos de ese tamaño se pueden hacer?​

Answer 1

【1. Rpta.】Habrá 9 alumnos por grupo.

【2. Rpta.】Habrá 16 grupos de 9 personas cada uno.

${\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Datos}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}$

64 alumnos.

80 alumnas.

${\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Planteamiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}$

Para que no sobre nadie, el número de grupos buscado debe ser divisor común de 64 y 80. Luego, dividiendo entre ese MCD podemos calcular cuántos alumnos y alumnas hay en cada grupo.

${\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Resolución}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}$

$\displaystyle 64=2^6$

$\displaystyle \left.\begin{matrix} 64 \\ 32 \\ 16 \\ 8 \\ 4 \\ 2 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \\ \end{matrix}$

$\displaystyle 80= 2^4 \cdot 5$

80 / 2

40 / 2

20 / 2

10 / 2

5 / 5

1 / 1

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes elevados a su exponente menor.

$\displaystyle MCD = 2^4 = 16$

${\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Solución}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}$

¿Qué tamaño puede tener como mínimo cada grupo?

Para calcular el tamaño mínimo, vamos a calcular cuántos niños y cuántas niñas habrá en cada grupo.

Número de niños:

$\displaystyle \frac{64}{16} = 4$

Número de niños:

$\displaystyle \frac{80}{16} = 5$

Sumando las dos cantidades, obtenemos que habrá 9 alumnos por grupo.

¿Cuántos grupos de ese tamaño se pueden hacer?

Como el MCD era 16, eso nos indica que habrá 16 grupos de 9 personas cada uno.

En total hay:

$\displaystyle 64 + 80 = 144 \Rightarrow \frac{144}{9} = 16 \: grupos.$

Atte: XxMilenaLaMejorxX