Question

ACTIVIDADES
Hallar la ecuación de la recta dados dos puntos
A) R(2 ; 4) S(3 ; 7)
B) P(-3; 5) T( -4; 4)
C) L(5;7) M(8; 4)

Answer 1

Ecuación de la recta

La ecuación de la recta tiene diferentes formas las cuales son las siguientes:

• Pendiente ordenada al origen.  

    $y=mx+b$

• General.

   $Ax+By+C=0$

• Determinada por dos puntos.

   $y - y1 = ( \frac{y2 - y1}{x2-x1}) (x-x1)$

• Punto pendiente.

   $y - y1 = m (x - x1)$

• Simétrica

   $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} =0$

• Normal

   $x (sen\alpha )+y(cos\alpha) - p=0$

Pendiente ordenada al origen

La fórmula para este caso es la anterior mostrada:  $y=mx+b$

Fórmula para la pendiente:  $m= \frac{y2-y1}{x2-x1}$

Pendiente

Los valores de los puntos están dados de la siguiente manera:

A ( x1 , y1 )  B ( x2 , y2 )

Entonces  nos podemos dar cuenta cuál valor sustituir en la fórmula:

R ( 2 , 4 )  S ( 3 , 7 )

Así  que los valores de las "x" y de las "y" son los siguientes:

x1 = 2     y1 = 4   x2 = 3   y2 = 7

Sustituimos en la fórmula de la pendiente:

$m= \frac{7-(4)}{3-(2)}$

El signo de menos es de la formula por lo tanto se debe de aplicar la ley de los signos:

$m= \frac{7-4}{3-2}$

Se realizan las operaciones:

$m= \frac{3}{1}$

Se simplifica lo más que se pueda para así tener el valor de la pendiente:

$m= 3$

Ordenada al origen

Para calcularla se debe utilizar la ecuación mencionada:  $y=mx+b$

Tenemos dos puntos y podemos elegir cualquiera de los dos para darle valor a "x" y "y" .

R ( 2 , 4 )  S ( 3 , 7 )

Primer punto

Si se elige el primer punto entonces queda de la siguiente manera:

$4 = 3 (2) + b$

$4 = 6 + b$

$4 - 6 = b$

$b=-2$

Segundo punto

Si se elige el segundo punto entonces queda de la siguiente manera:

$7 = 3 (3) + b$

$7 = 9 + b$

$7 - 9 = b$

$b=-2$

Con esto nos podemos percatar de que al elegir y sustituir cualquiera de los valores de los puntos en la ecuación se llega al mismo resultado.

Ecuación

Ya que sabemos los valores de la pendiente y la ordenada ahora sí se puede poner la ecuación la cual quedaría de la siguiente manera:

$y = 3x -2$

Determinada por dos puntos

La fórmula para este caso es la anterior mostrada:  $y - y1 = ( \frac{y2 - y1}{x2-x1}) (x-x1)$

Fórmula para la pendiente:  $m= \frac{y2-y1}{x2-x1}$

Pendiente

Los valores de los puntos están dados de la siguiente manera:

A ( x1 , y1 )  B ( x2 , y2 )

Entonces  nos podemos dar cuenta cuál valor sustituir en la fórmula:

R ( 2 , 4 )  S ( 3 , 7 )

Así  que los valores de las "x" y de las "y" son los siguientes:

x1 = 2     y1 = 4   x2 = 3   y2 = 7

Sustituimos en la fórmula de la pendiente:

$m= \frac{7-(4)}{3-(2)}$

El signo de menos es de la formula por lo tanto se debe de aplicar la ley de los signos:

$m= \frac{7-4}{3-2}$

Se realizan las operaciones:

$m= \frac{3}{1}$

Se simplifica lo más que se pueda para así tener el valor de la pendiente:

$m= 3$

Ecuación

En este caso sólo se van a sustituir los valores de cualquiera de los dos puntos ya que la fórmula lo permite.

$y - y1 = m (x - x1)$

$y - 4 = 3 (x - 2)$

El valor de la pendiente multiplica a lo que está dentro del paréntesis:

$y - 4 = 3x - 6$

Se realizan las operaciones:

$y = 3x - 6 + 4$

Por lo tanto la ecuación es:

$y = 3x - 2$

Al hacer todo el proceso nos podemos dar cuenta que el resultado que nos da es igual a la ecuación en la forma "pendiente ordenada al origen".

Punto pendiente

La forma punto pendiente es similar a la forma "determinada por dos puntos" la diferencia es que este caso podemos calcular la pendiente con la fórmula ya que como dato tenemos dos puntos y en la forma           "punto pendiente" sólo no da como dato un punto por lo que no se puede calcular la pendiente y te la tienen que dar como dato.

Las demás formas son más complejas por lo que en otro momento las puedo explicar.