Matemáticas, pregunta formulada por magabia27, hace 11 meses

ACTIVIDADES:
Calcula el valor de los siguientes limites indeterminados:

AYUUUUUDAAAS​

Adjuntos:

jcontreasgranados04: ESTA FACIL
jcontreasgranados04: SOLO REEMPLAZA
magabia27: no quiero pensarrrr
magabia27: jeje
coxrocio: no es que en estos casos no le sirve reemplazar por que le dan indeterminaciones 0/0, tenes que racionalizar, lleva un poquito de trabajo :)

Respuestas a la pregunta

Contestado por coxrocio
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Hola, como estas? Debajo te enumero para mas orden cada una de las respuestas

1)  \lim _{x\to \:-4}\left(\frac{x+4}{\sqrt{x+4}}\right)

aquí conviene racionalizar el denominador, multiplicando por el mismo de esta manera

\lim _{x\to \:-4}\left(\frac{x+4}{\sqrt{x+4}}\right * \frac{\sqrt{x+4} }{\sqrt{x+4} })

\lim _{x\to -4}\left(\frac{\:x+4\cdot \sqrt{x+4}}{x+4\:}\right)

\lim _{x\to \:-4}\left(\sqrt{x+4}\right)

y aquí si ya podemos evaluar el limite, reemplazando x por el valor al que tiende, y eso nos da como resultado 0

2) \lim _{x\to \:a}\left(\frac{\:\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}\right)

en este caso nos conviene racionalizar el numerador, entonces hacemos

\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}:\quad \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}

nos queda

\lim _{x\to \:a}\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\right)

y acá ya podemos reemplazar en x el valor al que tiende y nos queda \frac{1}{2\sqrt{a}}

3) \lim _{x\to -1}\left(\frac{\:x+1}{\sqrt{6x^2+3}+3x}\right)

acá es la misma técnica, intentas racionalizar el denominador, sacando la raíz, entonces esto quedaría así:

\frac{x+1}{\sqrt{6x^2+3}+3x}:\quad -\frac{-3x+\sqrt{6x^2+3}}{3\left(x-1\right)}

luego el limite queda de esta manera

\lim _{x\to \:-1}\left(-\frac{-3x+\sqrt{6x^2+3}}{3\left(x-1\right)}\right)

y acá ya podes reemplazar a x por el valor al que tiende, quedándote como resultado 1

4) \lim _{x\to 2}\left(\frac{\:\sqrt{x+2}-2}{x-2}\right)

buscamos nuevamente como en el ejercicio 2 racionalizar el numerador y sacar la raiz de ahi, entonces hacemos lo siguiente:

\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}:\quad \frac{1}{\sqrt{x+2}+2}

logramos así sacar la raíz del numerador y el limite nos queda así:

\lim _{x\to \:2}\left(\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}\right)

acá ya sustituimos el valor al que tiende x entonces nos queda como resultado \frac{1}{4}

5) \lim _{x\to 0}\left(\frac{\:\sqrt{x^2+25}-5}{\sqrt{x^2+16}-4}\right)

nuevamente buscamos racionalizar pero en este caso buscamos racionalizar numerador y denominador, nos quedaría algo así:

\frac{\sqrt{x^2+25}-5}{\sqrt{x^2+16}-4}:\quad \frac{\left(\sqrt{x^2+25}-5\right)\left(\sqrt{x^2+16}+4\right)}{x^2}

entonces el limite a resolver queda:

\lim _{x\to \:0}\left(\frac{\left(\sqrt{x^2+25}-5\right)\left(\sqrt{x^2+16}+4\right)}{x^2}\right)

y como aun seguimos teniendo problemas, multiplicamos por el conjugado, así:

\:\sqrt{x^2+25}-5:\:\frac{x^2}{\sqrt{x^2+25}+5}

entonces el limite queda

\lim _{x\to \:0}\left(\frac{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+25}+5}\left(\sqrt{x^2+16}+4\right)}{x^2}\right)

y simplificamos, entonces tenemos

\lim _{x\to \:0}\left(\frac{\sqrt{x^2+16}+4}{\sqrt{x^2+25}+5}\right)

teniendo ya esta expresión, ahora si podemos evaluar el limite, lo que nos da un resultado de \frac{4}{5}

Espero te sirva, si algo no se entiende muy bien, comentame y lo arreglo por que son muchos pasos, éxitos!

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