Question

A una distancia de 44 m de un poste se observa su parte alta con ángulo de elevación 37º. Determinar la visual.

Answer 1

La visual hasta la parte superior del poste tiene una magnitud de 55 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son aquellos determinados triángulos rectángulos que se distinguen de otros debido a que poseen determinadas características establecidas.

Los triángulos notables tienen en sus vértices ángulos interiores notables siendo posible establecer una relación entre tales ángulos y las dimensiones de sus lados.

Por tanto en esta clase de triángulos al poseer en sus ángulos ciertas dimensiones determinadas y pudiendo relacionar los ángulos notables con los lados del triángulo (y viceversa) se puede definir una constante de proporcionalidad

Donde las relaciones entre los lados y los ángulos permanecen constantes

Llamamos a esa proporción entre los lados con la letra "k", para indicar dicha proporcionalidad entre sus lados. Que como se mencionó es una constante.

Luego hallado el valor de "k" nos permitirá determinar los lados de un triángulo notable con facilidad

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados).

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k. Donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del poste, el lado AC (b) que representa la distancia desde el punto de observación hasta la base del poste y el lado AB (c) equivale a la línea visual hasta la parte superior del poste con un ángulo de elevación de 37°

Solución

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos

• Distancia hasta la base del poste = 44 metros

• Ángulo de elevación = 37°

• Debemos hallar la longitud de la visual hasta la parte superior del poste

Como conocemos el cateto adyacente (distancia al poste) al ángulo de elevación dado y buscamos el valor de la hipotenusa (visual hasta la parte más alta del poste), relacionamos estos datos con el coseno del ángulo α

Como tenemos un triángulo notable

$\large\boxed{\bold { cos(37^o) = \frac{4}{5} }}$

$\boxed{\bold { cos(37^o)= \frac{ cateto\ adyacente }{hipotenusa }} }$

$\boxed{\bold { cos(37^o) = \frac{ distancia \ al \ poste }{ visual \ alto \ del \ poste } } }$

$\boxed{\bold { visual \ alto \ del \ poste = \frac{ distancia \ al \ poste }{ cos(37^o)} } }$

$\boxed{\bold { visual \ alto \ del \ poste = \frac{ 44 \ m }{ cos(37^o) } } }$

Si

$\boxed{\bold { cos(37^o) = \frac{4}{5} }}$

$\boxed{\bold { visual \ alto \ del \ poste = \frac{ 44 \ m }{ \frac{4}{5} } } }$

$\boxed{\bold { visual \ alto \ del \ poste = 44 \ m \ .\ \frac{5}{4} } }$

$\boxed{\bold { visual \ alto \ del \ poste= \ \frac{220 }{4} \ m} }$

$\large\boxed{\bold { visual \ alto \ del \ poste =55 \ m } }$

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La distancia desde el punto de observación hasta la base del poste es de 44 metros

Y es el lado adyacente al ángulo de 37° por lo tanto mide 4k

Planteamos

$\boxed{\bold { distancia \ al \ poste=44 \ m= 4k }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed{\bold {4 k = 44 \ m }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{44 \ m }{4 } }}$

$\boxed{\bold { k = 11 }}$

El valor de la constante k es de 11

La línea visual hasta la parte superior del poste es la hipotenusa del triángulo notable de 37-53

Y al ser la hipotenusa medirá siempre 5k

Planteamos

$\boxed{\bold { visual \ alto \ del \ poste = 5k }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed{\bold { visual \ alto \ del \ poste = 5 \ . \ 11 }}$

Obteniendo

$\large\boxed{\bold { visual \ alto \ del \ poste = 55 \ m } }$

Donde se arriba al mismo resultado