a una cartulina de forma rectangular de 40cm de perímetro se le corta en las esquinas cuadrados de 2cm de lado de manera que con lo que quede se forme una caja abierta. ¿cuál debe ser el largo de dicha cartulina para él área de la base de la caja se máxima?
a) 5
b) 9
c) 10
d) 30
e) 15
Respuestas a la pregunta
El valor del largo y el ancho del rectángulo que describe el problema es:
Opción c) 10 cm
¿Cuál es el área y perímetro de un rectángulo?
Un rectángulo es un polígono de cuatro lados, con la característica que sus lados opuestos son iguales.
- El área de un rectángulo es el producto de sus dimensiones o lados.
A = largo × ancho
- El perímetro de un rectángulo es la suma de todos sus lados.
P = 2 largo + 2 ancho
¿Cómo obtener máximos y mínimos?
Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
- Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.
¿Cuál es el ancho y el largo del rectángulo?
Definir;
- x: largo
- y: ancho
Siendo;
- P = 2x + 2y
- P = 40 cm
Sustituir;
40 = 2x + 2y
20 = x + y
Despejar x;
x = 20 - y
El área de la base de la cartulina es:
A = (x - 4)(y - 4)
Sustituir x;
A = (20 - y - 4)(y - 4)
A = (16 - y)(y -4)
A = 16y - y² - 64 + 4y
A = -y² + 20y - 64
Aplicar primera derivada;
A' = d/dy(-y² + 20y - 64)
A' = -2y + 20
Aplicar segunda derivada;
A'' = d/dy (-2y+ 20)
A'' = -2 ⇒ Máximo relativo
Igualar a cero A';
-2y + 20 = 0
2y = 20
y = 20/2
y = 10 cm
Sustituir;
x = 20 - 10
x = 10 cm
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#SPJ1
