Question

A un lado de un río de 1 km de ancho hay una central electrica y al otro lado, 5 km corriente arriba, una fábrica. Tender cable por tierra cuesta $240 el metro y tenderlo bajo el agua cuesta $400 el metro.
A) ¿ cuál es el tendido más económico desde la central eléctrica hasta la fabrica?
B) ¿ es igual minimizar la longitud del cable que su costo?

Answer 1

Para encarar este problema graficamos el planteo en la imagen adjunta, en la cual tenemos que:

$L=a+c$

Donde a es la longitud en tierra y c la longitud bajo el agua. La función costo nos queda:

$C(a,c)=240a+400c$

Ahora vamos a tratar de poner todo en función de una sola variable:

$c=\sqrt{b^2+1^2}\\ b=5-a=>c=\sqrt{(5-a)^2+1} =\sqrt{25-10a+a^2+1}=\sqrt{26-10a+a^2}$

Ahora sustituyendo a c en la ecuación queda:

$C(a)=240a+400\sqrt{26-10a+a^2}$

Ahora nos piden el costo mínimo, por lo que debemos encontrar el mínimo de esta función, en el mínimo la derivada vale cero, por ende debemos hallar la derivada y luego igualarla a cero. En el segundo término usamos la regla de la cadena, por la cual en toda función compuesta:

$f'(g(x))=\frac{df(x)}{dg(x)}.\frac{dg(x)}{dx}$

Y procedemos a hallar la derivada:

$C'(a)=240+400\frac{2a-10}{2\sqrt{a^2-10a+26}}$

El mínimo es:

$240+200\frac{2a-10}{\sqrt{a^2-10a+26}}=0$

Ahora hay que despejar a:

$400\frac{2a-10}{2\sqrt{a^2-10a+26}}=-240\\200(2a-10)=-240.\sqrt{a^2-10a+26})\\200(2a-10)=-240\sqrt{a^2-10a+26})$

Dividimos por 40 ambos miembros:

$5(2a-10)=-6(\sqrt{a^2-10a+26})$

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

$25(2a-10)^2=36(a^2-10a+26)\\25(4a^2-40a+100)=-36(a^2-10a+26)$

Tenemos que tener en cuenta que en este paso eliminamos el signo negativo de la segunda expresión, por lo tanto debemos comprobar en la derivada la solución que hallemos.

$25(4a^2-40a+100)=-36(a^2-10a+26)\\100a^2-1000a+2500=-36a^2+360a-936\\64a^2-640a+1564=0$

Resolvemos la ecuación cuadrática.

$a=\frac{640\±\sqrt{640^2-4.64.1564} }{2.64}= \frac{640\±\sqrt{9216} }{128} =\frac{640\±96 }{128}\\\\a=5,75\\a=4,25$

Nos quedamos con la segunda solución ya que a debe ser menor a 5km. Comprobamos en la derivada:

$240+400\frac{2.4,25-10}{2\sqrt{4,25^2-10.4,25+26}}=240-400\frac{-1,5}{2.1,25}=0$

Ese es el tramo terrestre, ahora el tramo acuático es:

$b=5-a=5-4,25=0,75\\c=\sqrt{1^2+0,75^2}= 1,25$

Con lo que concluimos que el tendido más económico es:

• 4,25km por tierra
• 1,25km bajo el agua.

Dando un total de 5,5km de cableado.

B) Ahora vamos a hallar el valor que hace mínima la longitud del cableado. La función que describe este dato es:

$L=a+c=a+\sqrt{a^2-10a+26}}$

De las identidades que hallamos en el punto anterior. La derivada es:

$L'(a)=1+\frac{2a-10}{2\sqrt{a^2-10a+26}}$

Y el mínimo es:

[tex]1+\frac{2a-10}{\sqrt{a^2-10a+26}}=0\\2a-10=-{2\sqrt{a^2-10a+26}}\\(2a-10)^2=4(a^2-10a+26)\\4a^2-40a+100=4a^2-40a+104\\-4=0

Con lo que la función no tiene un mínimo ya que es siempre creciente (al ser suma de dos funciones crecientes en todos los reales) si bien como restringimos la variable "a" a los reales positivos puede decirse que a=0 es el mínimo.

Con lo que queda a la vista que no es lo mismo minimizar la longitud que el costo, esto ya se ve desde que las funciones costo y longitud son diferentes.