a) Si "n" entero positivo, ademas n(n+2)=80, hallar "n"
b) De lo anterior, hallar "n".
Si n(n+1)=210
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
a) n = 8
b) n = 14
Explicación paso a paso:
a) n(n + 2) = 80 con n> 0
distributiva
n² + 2n = 80
se iguala a cero
n² + 2n - 80 = 0
se expresa a -80 como -81 + 1
n² + 2n -81 + 1 = 0
se asocia
(n² + 2n + 1) - 81 = 0
el trinomio cuadrado perfecto es el cuadrado de un binomio
(n + 1)² - 81 = 0
81 = 9² entonces se tiene la diferencia de cuadrados
(n + 1)² - 9² = 0
(n + 1 - 9).(n + 1 + 9) = 0
(n - 8).(n + 10) = 0
de donde se tiene que
n - 8 = 0 ⇒ n = 8
n + 10 = 0 ⇒ n = -10
pero como el conjunto solución fue acotado para n > 0 se tendrá que la solución es n = 8
comprobación
8(8 + 2) = 8.10 = 80
b) n(n + 1) = 210 con n > 0
distributiva
n² + n = 210
se iguala s cero
n² + n - 210 = 0
se va a sumar y restar 1/4
n² + n - 210 + 1/4 - 1/4 = 0
se asocia
(n² + n + 1/4) - 210 - 1/4 = 0
(n + 1/2)² - (210 + 1/4) = 0
(n + 1/2)² - 841/4 = 0
se despeja el primer termino del primer miembro
(n + 1/2)² = 841/4
se toma raíz cuadrada de ambos miembros
√(n + 1/2)² = ±√(841/4)
n + 1/2 = ± 29/2
se despeja n
n = -1/2 ± 29/2
n = (-1 ± 29)/2
de don se tiene dos soluciones
n = (-1 + 29)/2 = 28/2 = 14 ó n = (-1 - 29)/2 = -(1 + 29)/2 = -30/2 = 15
por lo tanto la solución positiva es n = 14
comprobación
14(14 + 1) = 14.14 + 14 = 196 + 14 = 210