Question

a) Si F(x)= 5x/(1+ x2), encuentre F’(2) y utilícela para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y= 5x/(1+ x2) en el punto (2, 2). b) Ilustre el inciso anterior graficando la curva y la recta tangente en la misma pantalla.

Answer 1

Tenemos que F'(2) = -0.6 y la ecuación de la recta tangente que pasa por (2,2) es y = -0.6x + 3.2

Tenemos la función:

$F(x) = \frac{5x}{1+x^{2}}$

La ecuación de derivada de un cociente es:

$(\frac{f(x)}{g(x)})'= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2} }$

Encontremos primero F'(x).

$F'(x) = \frac{(5x)'*(1+x^{2})-(5x)*(1+x^{2})'}{(1+x^{2})^{2} }$

$F'(x) = \frac{5*(1+x^{2})-(5x)*2x}{(1+x^{2})^{2} }$

$F'(x) = \frac{5*1+5x^{2}-10x^{2}}{(1+x^{2})^{2} }$

$F'(x) = \frac{5-5x^{2}}{(1+x^{2})^{2} }$

Luego:

$F'(2) = \frac{5-5*2^{2}}{(1+2^{2})^{2} }$

$F'(2) = \frac{5-20}{(1+4)^{2} }$

$F'(2) = \frac{-15}{25}$

$F'(2) = -0.6$

La recta tangente a la curva en el punto (a,f(a)) es la que tiene pendiente F'(a) y que pasa por (a,f(a))

Entonces una recta con pendiente -0.6 y que pasa por (2,2):

y-2= -0.6*(x-2)

y = -0.6x +1.2+2

y = -0.6x + 3.2

En la imagen observamos en azul la grafica $F(x) = \frac{5x}{1+x^{2}}$ y en rojo la recta encontrada y = -0.6x + 3.2