Question

a) Seguí las instrucciones y realiza la siguiente construcción:

•Marca dos puntos y llamalos P y Q.
•Trazá una circunferencia que pase por P y por Q.
•Trazá, si es posible, una circunferencia de radio mayor que la que construiste y que también pase por P y por Q. Y, si es posible, trazá otra de radio menor que también pase por P y por Q.

b) Podés encontrar más circunferencias que pasen por P y por Q? Si es así, ¿cuántas hay? ¿Por qué?​

Answer 1

a)   Ver imagen adjunta (mediatriz)

Trabajaremos sobre un plano.

Se debe tener en cuenta que una circunferencia queda determinada completamente por tres puntos que pasen por ella.

Por ejemplo una circunferencia que pase por $P \text{ y } Q$  podría ser la circunferencia  $b$  con centro en el punto $B$, seguidamente se puede trazar siempre una circunferencia de mayor radio que la construida anteriormente, por ejemplo, la circunferencia $c$  con centro en el punto $C$. Ahora, si intentamos construir una circunferencia de radio menor que la primera, se pueden dar dos casos y eso depende de si el centro de la primera circunferencia es o no el punto medio del segmento $PQ$. Si el centro resulta ser dicho punto medio no se podrá, en caso contrario sí se puede conseguir, por ejemplo, tomando una que tenga dicho punto medio como centro.

b) Si. Se pueden encontrar una infinidad (No numerable) de circunferencias que pasen por  $P \text{ y } Q$  todas ellas caracterizadas por tener sus centro sobre la mediatriz de segmento $PQ$, en nuestra grafica denotada como $M_{PQ}$.

Esto debido a que la mediatriz de un segmento es el conjunto de puntos que equidistan a los extremos de dicho segmento, se puede comprobar fácilmente que esta resulta ser la perpendicular al segmento por el punto medio del mismo. Por tanto, toda circunferencia que pase por los extremos de dicho segmento, debe tener su centro sobre la mediatriz, precisamente por que el centro debe equidistar a dichos puntos...