Question

A que se debe que el origen de las palabras correr y correo sea el mismo

Answer 1

El español, catalán, italiano, francés y otros más, sabemos, son lenguas romances. Por lo que, tienden a tender orígenes una en la otra.
Un ejemplo claro es correo:
Correo, palabra española que proviene del catalán "correu", que así mismo provenía de un francés medieval CORLIEU (viene del francés "CORIR", ahora "courir", que significa correr y "LIEU" que significa lugar), que significaba "correlugares" (lo que ahora sería "cartero")
Ahora si han prestado atención notarán que "CORIR" es correr y "CORIR" fue uno de los vocablos que componían a la palabra francesa CORLIEU, que fue evolucionando hasta llegar a ser CORREO.
Ahora CORRER:
Viene del latín "curreri".