Question

¿a qué hora entré la 1 y las 2 se superponen las manecillas del reloj?

Answer 1

Conceptos a tener en cuenta para resolver estos ejercicios y que he copiado de otra respuesta mía:

• La circunferencia está dividida en 12 segmentos circulares iguales que son los que se corresponden con el paso de una hora a la siguiente, de forma que cada segmento separa dos números consecutivos del reloj, ok?

• Si tomamos el ángulo total de la circunferencia  (360º) y lo dividimos entre los 12 arcos que se forman entre dos horas consecutivas, tenemos que el ángulo determinado será el resultado de dividir:  360 ÷ 12 = 30º así que deducimos que entre dos horas consecutivas el ángulo formado es de 30º.

• La manecilla de las horas  (en adelante: la horaria)  recorre ese ángulo de 30º en una hora, es decir, en 60 minutos así que si dividimos 30º que recorre entre 60 minutos que tarda nos sale una velocidad de 30/60 = 0,5º por minuto. Guardaré este dato para después.

• La manecilla de los minutos  (en adelante: el minutero)  recorre un ángulo de 360º  (la vuelta completa)  en una hora = 60 minutos  y haciendo la misma operación que con la horaria, divido   360/60 = 6º por minuto es la velocidad del minutero. Datos que también dejo guardado.

Y vamos con el ejercicio.

• Cuando el minutero llega al 1, ha recorrido 30º y han transcurrido 5 minutos, ok?

• En ese mismo tiempo, la horaria ha recorrido 2,5º saliendo desde la 1, que es el ángulo que le lleva de ventaja al minutero cuando son la  1:05

Desde esa posición de las manecillas, cuando se sobrepongan, la horaria se habrá desplazado un ángulo "x" y el minutero se habrá desplazado ese mismo ángulo "x" más los 2,5º que la horaria le llevaba de ventaja, es decir, se desplaza un ángulo de  2,5+x

Pero lo que ha de quedar claro es que desde que la horaria comienza el recorrido del ángulo "x" y el minutero comienza el recorrido del ángulo "2,5+x" hasta que se sobreponen, ha transcurrido el mismo tiempo, ok?

Pues es ahora cuando hay que usar la fórmula del movimiento rectilíneo uniforme  (aunque aquí no sea rectilíneo porque realiza un arco pero nos sirve igual)  que dice:

Distancia en grados = Velocidad en grados/minuto × Tiempo en minutos

Despejo el tiempo y tengo:

Tiempo = Distancia / Velocidad

Sustituyo datos de las dos manecillas en esa fórmula:

Tiempo (horaria) = x / 0,5  

Tiempo (minutero) = (2,5+x) / 6

(deducido de los conceptos descritos al principio)

Como ya hemos razonado que los dos tiempos son iguales, se igualan también las partes derechas de esas fórmulas quedando una ecuación de primer grado que se resuelve:

$\dfrac{x}{0,5}=\dfrac{2,5+x}{6} \\ \\ \\ 6x=1,25+0,5x\\ \\ 5,5x=1,25\\ \\ x=\dfrac{1,25}{5,5} =0,227\ minutos$

Son decimales de minuto en sistema decimal que hay que pasar a segundos (sistema sexagesimal)   y para ello se multiplica por 60 segundos que tiene un minuto.

60 × 0,227 = 13,6 segundos

Finalmente la hora a la que las manecillas se superponen sale de sumar 5 minutos y 13 segundos a la hora en punto que dice que sería la 1.

Respuesta:

Se superponen a la 1 horas, 5 minutos y 13 segundos.

En reloj digital veríamos esto:  01 : 05 : 13

... pero no veríamos las manecillas, claro.