Question

A que distancia en el eje de un disco cargado de radio R es la magnitud del campo eléctrico igual a la mitad del valor del campo en la superficie del disco en el centro?

Answer 1

El valor campo eléctrico es la mitad del valor en la superficie a una distancia sobre el eje del disco de aproximadamente $d=\frac{1}{2-\frac{1}{R}}$.

Explicación:

Si el disco tiene una densidad superficial de carga σ, podemos aplicar la ley de Coulomb al disco considerando cada punto de su superficie. Tenemos:

$dE=k\frac{\sigma.dS}{r^2}$

En el eje del disco las componentes transversales del campo eléctrico son nulas, y podemos tomar como diferencial de área un anillo de espesor dr centrado en el centro del disco.

$dE=k\frac{\sigma.\pi((r+dr)^2-r^2)}{d^2+r^2}.cos(\theta)\simeq k\frac{\sigma.2\pi r.dr}{d^2+r^2}\frac{d}{\sqrt{d^2+r^2}}\\\\E=2\pi\sigma k\int\limits^R_0 {\frac{r.d}{(d^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}} \, dr$

Resolvemos la integral por sustitución:

$E=2\pi\sigma k\int\limits^R_0 {\frac{r}{(d^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}} \, dr \\\\E=\pi\sigma k\int\limits^R_0 {\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}} \, dr \\\\E=\pi \sigma k(-(d^2+R^2)^{-\frac{1}{2}}+(d^2)^{-\frac{1}{2}})\\\\E=\pi \sigma k(\frac{1}{d}-\frac{1}{\sqrt{R^2+d^2}})$

La función campo eléctrico diverge sobre la superficie del disco pero muy cerca de ella se puede considerar que el disco se comporta como un plano infinito cargado y queda:

$E(0)=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$

Si intento hallar la distancia a la cual el campo eléctrico es la mitad de este valor queda:

$\frac{\sigma}{2\epsilon_0}=\pi \sigma \frac{1}{4\pi \epsilon_0}(\frac{1}{d}-\frac{1}{\sqrt{R^2+d^2}})\\\\1=\frac{1}{2}(\frac{1}{d}-\frac{1}{\sqrt{R^2+d^2}})\\1=\frac{1}{2d}-\frac{1}{2\sqrt{R^2+d^2}}\\\\\frac{1}{\sqrt{R^2+d^2}}=\frac{2d-1}{d}$

Si suponemos una distancia pequeña podemos linealizar el primer miembro:

$\frac{1}{R}=\frac{2d-1}{d}\\\\d(\frac{1}{R}-2)=-1\\\\d=\frac{1}{2-\frac{1}{R}}$

Answer 2

Respuesta:

el valor del campo sobre el eje de be ser la MITAD del valor del campo en el centro del disco.

 no utilizaste la condición. La distancia debe ser debe ser

igual a R/(RAIZ DE 3)

Explicación: