Question

¿A qué altura sobre el nivel del mar se encuentra el 50% del aire que compone a la atmósfera?
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Answer 1

El 50% del aire que compone la atmósfera está  concentrado en los primeros 5824 metros sobre el nivel del mar.

Explicación:

Las partículas que componen la atmósfera terrestre se consideran partículas clásicas y están sometidas al campo gravitatorio terrestre, y por ende siguen la distribución de Boltzmann que relaciona la  concentración espacial con la energía, cuya expresión es:

$N_h=N_0.e^{-\frac{E}{kT}}$

Donde N0 es la concentración en el suelo y Nh la concentración a una cierta altura. Si consideramos que las partículas del aire solo tienen energía potencial gravitatoria nos queda:

$N_h=N_0.e^{-\frac{mgz}{kT}}$

La expresión se puede integrar para conocer la cantidad de partículas que hay entre el suelo y una cierta altura:

$p=\int\limits^h_0 {N_0.e^{-\frac{mgz}{kT}}} \, dz\\\\p=N_0\frac{kT}{mg}(1-e^{-\frac{mgz}{kT}})$

Para ver a qué altura está el 50% del total de la masa de la atmósfera tenemos que hacer:

$1-e^{-\frac{mgz}{kT}}=0,5\\e^{-\frac{mgz}{kT}}=0,5$

Donde m es la masa de cada partícula del aire, como sabemos que la masa molar del aire es de 29 gramos por mol, la masa de la partícula la hallamos dividiendo este valor por la constante de Avogadro.

$m=\frac{0,029kg/mol}{6,02x10^{23}}=4,817x10^{-26}kg$

g es la constante gravitatoria, z la altura, T la temperatura (consideramos la temperatura media de la Tierra, 288K) y k la constante de Boltzmann que es $k=1,38x10^{-23}\frac{J}{K}$ Y nos queda:

$e^{-\frac{4,82x10^{-26}.9,81.z}{1,38x10^{-23}.288}}=0,5\\\\z=\frac{ln(0,5)}{-\frac{4,82x10^{-26}.9,81}{1,38x10^{-23}.288}}\\\\z=5824m$