a) Lee con atención el siguiente enunciado:
la convivencia fomenta la unión y el trabajo colaborativo entre todos los miembros de la familia, en el que sobresalen las buenas relaciones interpersonales. Durante los últimos días, en un recinto de la provincia de Manabí, la familia Zambrano ha aprovechado para cercar un solar de forma rectangular. La familia Zambrano dispone de 48 m de valla para cercar su solar.
b) Analice y determine cuáles son las dimensiones del solar para que el área cercada sea la máxima posible (Resuelva justificando cada paso que da, incluido un diagrama que clarifique el problema).
Respuestas a la pregunta
El solar debe tener 12 m de base por 12 m de altura para cercar el área máxima posible, 144 m².
Explicación paso a paso:
La función objetivo es el área (A) del solar rectangular. Si llamamos y la altura y x la base; la función objetivo viene dada por:
A = xy
Lo conveniente es que el área este expresada solo en función de una sola variable, por lo que usaremos el perímetro (P) conocido (ecuación auxiliar) para despejar y en función de x:
P = 2x + 2y = 48
de aquí
y = 24 - x
por tanto la función objetivo es
A = x(24 - x) = 24x - x²
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.
A' = 24 - 2x
A' = 0 ⇒ 24 - 2x = 0 ⇒ x = 12
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
A'' = -2
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
A''₍₁₂₎ = -2 < 0 ⇒ es un máximo de la función A.
Luego, y = 24 - (12) = 12
El solar debe tener 12 m de base por 12 m de altura para cercar el área máxima posible, 144 m².
