Matemáticas, pregunta formulada por ayalaolorteguijuan, hace 8 meses

A las 5 de la madrugada una paloma está ubicada a 2000Km al oeste de un águila, la
paloma vuela hacia el este a 80 Km/h y el águila vuela hacia el sur a 320 Km/h.,
ambas en línea recta ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre ellas pasadas 2 horas
del meridiano?
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Respuestas a la pregunta

Contestado por linolugo2006
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Aproximadamente la distancia entre las aves pasadas 2 horas del meridiano cambia con una rapidez de 199 Km/h.

Explicación paso a paso:

Del planteamiento se entiende que las aves se encuentran sobre una recta horizontal separadas por una distancia de 2000 Km a las 5 am. Se ponen en movimiento, la paloma en linea recta horizontal hacia el punto donde inicialmente se encontraba el águila y esta última en línea recta vertical alejándose de su punto inicial.

Llamemos    x    a la distancia horizontal que separa la paloma del punto inicial del águila,    y    a la distancia vertical que separa el águila de su punto inicial, y    z    a la distancia en línea recta entre las dos aves.

Las distancias    x y z    forman un triángulo rectángulo, son variables y lo hacen en función del tiempo; además las podemos relacionar por medio del teorema de Pitágoras:  

(Hipotenusa)² = (Cateto Opuesto)² + (Cateto Adyacente)²  

En el caso que nos ocupa:  

(z)²  =  (x)²  +  (y)²  

La incógnita del problema es la variación en el tiempo de la distancia  z  a las 2 pm. Para calcularla, necesitamos conocer los valores de las distancias    x y z    a las 2 pm, es decir, 9 horas después de la condición inicial. Esto lo vamos a conocer con las velocidades y el teorema de Pitágoras:

x (9h)  =  2000 Km  -  [(9h)*(80 Km/h)]  =  2000 Km  -  720  Km  =  1280 Km

y (9h)  =  (9h)*(320 Km/h)  =  2880 Km

[z (9h)]²  =  (1280)²  +  (2880)²   =  9932800 Km²

z (9h)  =  √9932800   Km

Ahora bien, la variación en el tiempo no es más que la derivada implícita con respecto al tiempo:  

d[(z)²]/dt  =  d[(x)²]/dt  +  d[(y)²]/dt     ⇒     2z dz/dt  =  2x dx/dt  +  2y dy/dt     ⇒  

dz/dt  =  (x dx/dt  +  y dy/dt) / (z)

Vamos a calcular el valor de    dz/dt    para las condiciones dadas:  

dz/dt  =  [(1280)(-80)  +  (2880)(320)] / [√9932800]  ≅  199  Km/h  

Aproximadamente la distancia entre las aves pasadas 2 horas del meridiano cambia con una rapidez de 199 Km/h.

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