A las 11 horas de la mañana una lancha A se encuentra a 25 km al sur de la otra lancha B; la lancha A navega hacia el oeste a razón de 16 km/h y la B navega hacia el sur a 20 km/h. Obtén la razón de cambio de la distancia entre las dos lanchas a las 11:30 horas.
Una respuesta bien porfa, les daré coronita :(
Respuestas a la pregunta
A las 11:30 horas de la mañana, la razón de cambio de la distancia entre las dos lanchas es de 2,59 km/h.
Explicación paso a paso:
Del planteamiento se entiende que las distancias de las lanchas al punto inicial y entre ellas son variables y que lo hacen en función del tiempo; así que llamamos:
x distancia de la lancha A al punto inicial (11 horas)
y distancia de la lancha B al punto inicial de la lancha A (11 horas)
z distancia entre las lanchas
Además sabemos que las podemos relacionar por medio del teorema de Pitagoras:
(Hipotenusa)² = (Cateto Opuesto)² + (Cateto Adyacente)²
En el caso que nos ocupa:
(z)² = (x)² + (y)²
Ahora bien, la variación en el tiempo no es más que la derivada implícita con respecto al tiempo:
d[(z)²]/dt = d[(x)²]/dt + d[(y)²]/dt ⇒ 2z dz/dt = 2x dx/dt + 2y dy/dt ⇒
dz/dt = (2x dx/dt + 2y dy/dt) / (2z)
A las 11:30 horas tenemos los siguientes valores, dadas las condiciones del problema:
x = 8 km (media hora desplazándose a 16 km/h)
y = 15 km (media hora desplazándose a 20 km/h son 10 km que se restan a la distancia inicial de B al punto inicial de A)
z = √[(8)² + (15)²] = 17 km
dx/dt = 16 km/h (positiva porque la distancia x va aumentando)
dy/dt = -20 km/h (negativa porque la distancia y va disminuyendo)
Vamos a calcular el valor de dz/dt para las condiciones dadas:
dz/dt = [(2)(8)(16) + (2)(15)(-20)] / [(2)(17)] = -2,59 km/h
A las 11:30 horas de la mañana, la razón de cambio de la distancia entre las dos lanchas es de 2,59 km/h.