Question

A la hora del almuerzo un profesor
repartió entre sus alumnos los fondos
que había reunido durante el semestre,
que ascendían a $4000, asignando a cada
uno cierta cantidad. Antes de terminar la
repartición llegaron 5 alumnos más, por
lo que repartió nuevamente y le tocó a
cada uno $40 menos que en la primera
repartición. ¿Cuántos alumnos eran
inicialmente?

Answer 1

Denotemos:

• x -- Cantidad De alumnos inicialmente.
• y -- Cantidad de dinero que le tocó a cada alumno inicialmente.

A la hora del almuerzo un profesor  repartió entre sus alumnos los fondos  que había reunido durante el semestre, que ascendían a $4000

xy = 4000

Antes de terminar la  repartición llegaron 5 alumnos más, por  lo que repartió nuevamente y le tocó a cada uno $40 menos que en la primera  repartición.

(x + 5)(y - 40) = 4000

Agrupamos y resolvemos por sustitución:

xy = 4000

(x + 5)(y - 40) = 4000

Despejamos y de la primera ecuación:

y = 4000/x

Sustituimos en la segunda:

$\left(x+5\right)\left(\dfrac{4000}{x}-40\right)=4000$

$-40x+\dfrac{20000}{x}+3800=4000$

Multiplicamos toda la ecuación por x:

$-40x^2+20000+3800x=4000x$

$-40x^2-200x+20000=0$

$x_{1,\:2}=\dfrac{-\left(-200\right)\pm \sqrt{\left(-200\right)^2-4\left(-40\right)\cdot \:20000}}{2\left(-40\right)}$

$x_1=\dfrac{-\left(-200\right)+1800}{2\left(-40\right)},\:x_2=\dfrac{-\left(-200\right)-1800}{2\left(-40\right)}$

$x_1=-25,\:x_2=20$

Descartamos la solución negativa y concluimos que:

R/ Inicialmente habían 20 alumnos.

Answer 2

La cantidad de alumnos que eran inicialmente es:

20

¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Es un arreglo de ecuaciones que se caracteriza por tener el mismo número de incógnitas que de ecuaciones.

Existen diferentes métodos para su resolución:

• Sustitución: se despeja de una ecuación una variable, quedando en función de otra para luego sustituirla en otra ecuación y así obtener
• Igualación: se despeja la misma variable en dos de las ecuaciones y se igualan los resultados.
• Eliminación: se resta o suman dos ecuaciones para que quede un resultado en función una variable y así despejarla.
• Gráfico: se grafican las rectas y el punto de intersección es la solución del sistema.

¿Cuántos alumnos eran inicialmente?

Definir

• x: cantidad alumnos
• y: cantidad asignada para cada alumno

Ecuaciones

1. 4000/x = y
2. 4000/(x + 4) = y - 40

Aplicar método de sustitución;

4000 = (y - 40)(x + 4)

4000 = yx + 4y - 40x - 160

Sustituir 1;

4000 = x(4000/x) + 4(4000/x) - 40x - 16

4000 + 16 = 4000 + 16000/x - 40x

16x =  16000 - 40x²

40x² + 16x  - 16000 = 0

Aplicar la resolvente;

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$

Siendo;

• a = 40
• b = 16
• c = -16000

Sustituir;

$x_{1,2}=\frac{-16\pm\sqrt{16^{2}-4(40)(-16000)} }{2(40)} \\\\x_{1,2}=\frac{-16\pm\sqrt{2560256} }{80}$

x₁ ≈ 20

x₂ ≈ -20

Puedes ver más sobre sistemas de ecuaciones aquí: https://brainly.lat/tarea/5661418