Question

a. Hallar los valores de α que hacen que los vectores dados sean ortogonales:
u= -7i+4j Y v = αi-9j

Answer 1

La pendiente de un vector indica su ángulo de inclinación, es decir su dirección, luego si dos vectores tienen la misma pendiente se dice que son paralelos. 

De geometría analítica se tiene que la pendiente se calcula mediante: 

m = ( y ₂ - y ₁ ) / ( x ₂ - x ₁ ) 

Se tiene del vector " u " : 

x ₁ = 0........ x ₂ = 2 

y ₁ = 0........ y ₂ = 6 


Luego la pendiente del vector " u " es : 

m = ( 6 - 0 ) / ( 2 - 0 ) 

m = 6 / 2 

m = 3 

Por lo tanto para que el vector " v " sea paralelo al vector " u " su pendiente debe ser igual a 3. Del vector " v " se tiene: 

x ₁ = 0........ x ₂ = x 

y ₁ = 0........ y ₂ = -3 

Luego su pendiente es: 

m = ( -3 - 0 ) / ( x - 0 ) 

m = -3 / x 

Ahora haciendo " m = 3 " se tiene : 

3 = -3 / x 

Despejando a " x " se tiene: 

3x = - 3 

x = - 3 / 3 

x = - 1 ✔ 

Por lo tanto para que el vector " v " sea paralelo al vector " u " su abscisa debe valer -1. 

❷ Para el inciso b) se puede también usar el mismo método, solo que esta vez en lugar de que la pendiente del vector " v " sea igual a la pendiente del vector " u "; la pendiente del vector " v " debera ser negativa e inversa multiplicativa a la pendiente del vector " u ", es decir : 

Pendiente del vector " v " = - 1 / pendiente del vector " u " 

Pero mejor voy a usar la condición del producto punto o producto escalar que dice que dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es igual a cero. Uso este proceso porque es mas corto que el anterior. 

Se tienen los vectores " u( 2 , 6 ) y v( x , - 3 ) " 

Nos dicen que si u ● v = 0 entonces los vectores son perpendiculares. 

Luego se tiene: 

( 2, 6 ) ● ( x , -3 ) = 2x - 18 

Igualando a " 2x - 18 " a cero se tiene : 

2x - 18 = 0 

Despejando a " x " : 

2x = 18 

x = 18 / 2 

x = 9 ✔ 

Luego para que el producto punto o producto escalar sea igual a cero, " x " debe valer 9, ademas de acuerdo a la definición del producto punto, este valor de " x " nos da la ortogonalidad ( perpendicularidad ) entre los vectores u y v. 


❸En la ultima pregunta no se obtendra ningun haz de rectas ya que para obtener un haz o una familia de rectas hay que recordar que una recta queda determinada si se conocen dos puntos o un punto y su pendiente, para generar un haz de rectas se necesita conocer solo una de las siguientes condiciones : 

- Saber que la recta pase por un punto o conocer solo su pendiente, pero solo conocer una de estas dos condiciones generaría un haz de rectas. 

No es el caso en la ultima pregunta ya que se da la pendiente que debe de tener la recta y el punto por el cual pasa, con estos datos no se obtendra ningun haz de rectas si no una sola recta. 

Dicha recta sera: 

La pendiente de la recta " 5x - 2y + 3 = 0 ", como esta en su forma general es decir esta en la forma " Ax + By + C = 0 " pues puede calcularse por: 

m = - A / B 

En este caso " A = 5 y B = -2 " luego: 

m = - 5 / - 2 

m = 5 / 2 

Luego el punto por el que debe de pasar la recta con pendiente igual a 5 / 2 es P( -1 , 3 ) luego usando la fórmula: 

y - y ₁ = m ( x - x ₁ ) 

Se tienen de datos: 

x ₁ = -1 

y ₁ = 3 

m = 5 / 2 

Sustituyendo datos en la fórmula se tiene: 

y - 3 = 5 / 2 ( x - ( - 1 ) ) 

y - 3 = 5 / 2 ( x + 1 ) 

y - 3 = 5x / 2 + 5 / 2 

y - 5x / 2 - 3 - 5 / 2 = 0 

y - 5x / 2 - 11 / 2 = 0.......... QUE ES LA RECTA BUSCADA ✔ 

Tambien puede escribirse en forma entera, es decir sin denominadores, para hacer esto basta multiplicar a ambos miembros de la ecuación por el minimo comun multiplo en este caso 2, quedaría: 

2 ( y - 5x / 2 - 11 / 2 ) = 2 ( 0 ) 

2y - 5x - 11 = 0 

Si se multiplicara a ambos miembros de la ecuación por -1 se tendría: 

-1 ( 2y - 5x - 11 ) = -1 ( 0 ) 

5x - 2y + 11 = 0 


CUALQUIERA DE LAS TRES MANERAS ES CORRECTA