Question

a) Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:
f (x) = (x+3) (x^2 )
b) Dado un cilindro de volumen 8m^3, determinar sus dimensiones para que su área total sea mínima.

Answer 1

DATOS :

a) máximos =?  mínimos =? puntos de inflexión =?

f(x) = ( x+3 )( x^2 )

 SOLUCIÓN :

 Para resolver el ejercicio se procede a derivar la función proporcionada de la siguiente manera :

   f'(x)= ( x+3)' *x² + (x+3)*(x²)'

   f'(x) = x² + (x+3)*2x= x²+ 2x²+6x= 3x²+6x

    f'(x) =0

    3x²+6x =0

   x( 3x +6)=0

   x=0  3x+6 =0  x = -2

   Máximo relativo :   x = -2

   Puntos de corte  : ( - 3,0) y ( 0,0 )

  mínimos relativos : X = -2  y    x=0

  f''(x) = 6x +6 =0    x = -1  

    f(-1) = ( -1+3)*(-1)²= 2  

   Punto de inflexión = ( -1 , 2 )

  b)  cilindro    V= 8m^3    V = π* r²*h

         r=?  h=?

     Área total = mínima .

     8 = π*r²*h     se despeja h:

      h = 8/πr²

    At= 2πr²+ 2π*r*h= 2πr*(r +h)

    At= 2πr²+2π*r*8/πr²= 2πr² + 16/r

   dAt/dr = 4πr -16/r²=0

     4πr = 16/r²

      r³= 16/4π

      r³= 4/π

    r = ∛4/π

    h = 8/π*r²= 8/π*(∛4/π )²= 4/∛2π

    h = 4/∛2π