a) Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función: f (x) = (x-2) (x^2) b) Calcula el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo de tal manera que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 8 cm.
Respuestas a la pregunta
RESPUESTA:
Para el primer ejercicio, tenemos la siguiente función:
f(x) = x²·(x-1)
Procedemos a resolver la distributiva.
f(x)= x³ - x²
Ahora, tenemos que encontrar máximos, mínimos y punto de inflexión, para ello debemos buscar la primera y segunda derivada.
- f'(x) = 3x² -2x
- f''(x) = 6x -2
Igualamos la primera derivada a cero para los máximos y mínimos:
3x² -2x = 0
x(3x-2) = 0
Tenemos dos puntos críticos:
x = 0
3x-2 = 0 → x = 2/3
Verificamos en la segunda derivada si es máximo o mínimos.
f''(0) = 6·0 -2 = -2 → Negativo, es decir, un máximo
f''(0) = 6·(2/3) -2 = +2 → Positivo, es decir, un mínimo
Buscamos la imagen de cada punto.
f( 0) = 0³ - (0)² = 0
f(2/3) = (2/3)³ -(2/3)² = -4/27
Entonces, nuestros puntos son:
- MÍNIMO → (2/3,-4/27)
- MÁXIMO → ( 0,0)
El punto de inflexión es cuando la segunda derivada es igual a cero, tenemos que:
6x-2= 0
x = 1/3
Tenemos un punto de inflexión en 1/3, buscamos la imagen
f(1/3) = (1/3)³ -(1/3)² = -2/27
- PUNTO DE INFLEXIÓN → (1/3, -2/27)
Adjunto podemos ver la gráfica.
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Tenemos para el segundo ejercicio plantear las condiciones:
- A = b·h/2
- b + h = 8
Procedemos a despejar una variable de la segunda ecuación y sustituirla en la primera, tenemos:
b = h-8
A = (h-8)·h/2
Derivamos el área, tenemos:
dA/dh = (2h - 8)/2
Igualamos a cero, y tenemos que:
2h -8 = 0
h = 4
b = 4
Por tanto, el área máxima será:
A = (4)·(4)/2
A = 8 u²
El área máxima debe ser de 8 unidades cuadradas.
