Question

a) Elaborar un tetraedro con módulos de Sonobe. b) Graficar un tetraedro regular, en el indicar: las caras, aristas, baricentro de la base y altura. c) Mencionar las fórmulas para hallar: la altura, el área y el volumen del tetraedro regular.

Answer 1

El tetraedro se construye con dos módulos de Sonobe.

El tetraedro regular tiene 4 caras iguales con forma de triángulo equilátero, 6 aristas y la altura pasa por el baricentro de la base.

La altura del tetraedro es $h=l\frac{\sqrt{6}}{3}$, su área lateral es $A=l^2\sqrt{3}$ y el volumen es $V=l^3\frac{\sqrt{2}}{12}$

Explicación paso a paso:

a) Un tetraedro es un poliedro de 4 caras, la única posibilidad es la pirámide de base triangular. Se puede ensamblar utilizando dos módulos de Sonobe.

b) Si graficamos el tetraedro regular, tiene 4 caras iguales y 6 aristas. El baricentro de la base coincide con el circuncentro porque es un triángulo equilátero, por ende la altura pasa por la cúspide y por el baricentro de la base. El dibujo está en la imagen adjunta.

c) Para hallar la altura del tetraedro, tenemos que el arista lateral forma con el de la base un ángulo de 60 grados por lo que la altura de la cara es:

$h_c=l.sen(60\°)=l\frac{\sqrt{3}}{2}$

Luego la apotema de la base es $\frac{\sqrt{3}}{6}$. La apotema forma con la altura y la altura de la cara un triángulo rectángulo donde aplicamos Pitágoras.

$h=\sqrt{h_c^2-ap^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}l)^2-\frac{\sqrt{3}}{6}l)^2}\\\\h=\sqrt{h_c^2-ap^2}=\sqrt{\frac{3}{4}l^2-\frac{3}{36}l^2}=\sqrt{\frac{3}{4}l^2-\frac{1}{12}l^2}\\\\h=l.\sqrt{\frac{8}{12}}=\frac{l\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=l\frac{\sqrt{6}}{3}$

Como el tetraedro tiene 4 caras que son triángulos equiláteros, el área de un triángulo equilátero es:

$A=l^2\frac{\sqrt{3}}{4}$

Entonces el área del tetraedro regular es:

$A=4l^2\frac{\sqrt{3}}{4}=l^2\sqrt{3}$

Como el tetraedro es una pirámide el volumen es:

$V=\frac{1}{3}A_b.h\\\\A_b=l^2\frac{\sqrt{3}}{4}=>V=\frac{1}{3}l^2\frac{\sqrt{3}}{4}.l\frac{\sqrt{6}}{3}\\\\V=l^3\frac{\sqrt{18}}{36}=l^3\frac{\sqrt{2.9}}{36}=l^3\frac{3\sqrt{2}}{36}\\\\V=l^3\frac{\sqrt{2}}{12}$

Answer 2

Respuesta:

esta bien lo que izo el de arriba

Explicación paso a paso: