Question

A: El conjunto de números de dos cifras, tales que la primera cifra es mayor que la segunda.
B: El conjunto de números de dos cifras, tales que la primera cifra es menor que la segunda.
1) Representar los conjuntos A y B por comprensión.

Answer 1

La representación de los conjuntos A y B por comprensión es:

$A = \{x | x = y\cdot10 + z, 10 > y > z, y \epsilon N, x \epsilon N\}$

$B = \{x | x = y\cdot10 + z, 10 > z > y, y \epsilon N, x \epsilon N\}$

La representación de un conjunto por comprensión es la que define un conjunto por las propiedades que sus elementos comparten. Para definir un conjunto de esta manera entonces, debes encontrar esas propiedades.

En general, un conjunto $Q$, al representarse por comprensión, se escribirá como:

1. $Q = {x | x\text{ tiene la propiedad P}}$

Comencemos con el conjunto A. ¿Que propiedades comparten sus elementos? La primera es que sus números son de dos cifras. Si $x$ es de dos cifras, esto quiere decir que se puede escribir como:

$x = y\cdot 10 + z$

Donde $y$ es la primera cifra y $z$ es la segunda cifra. Pero $y$ y $z$ no puede ser cualquier numero, porque si $y$ es 10 o mayor a 10, el numero sería de tres cifras. Así encontramos nuestra segunda condición, ambos deben ser numeros naturales menores a 10.

La última condición es que la primera cifra es mayor que la segunda, esto significa que $y > z$ y como ya dijimos que $10 > y$, podemos escribir ambas condiciones en una como $10 > y > z$.

Con esto, tenemos todas las condiciones, escribamos el conjunto con el esquema de la ecuación 1:

$A = {x | x = y\cdot10 + z, 10 > y > z, y \epsilon N, x \epsilon N}$

Que se lee "El conjunto todos los $x$ tal que $x$ es un numero de dos cifras, la primera mayor que la segunda".

El conjunto B es muy parecido, pero esta vez la segunda cifra es mayor que la primera, lo que significa que $z > y$. Como $10 > z$, podemos escribir $10 > z > y$ y nos queda:

$B =\{x | x = y\cdot10 + z, 10 > z > y, y \epsilon N, x \epsilon N\}$

Que se lee "El conjunto todos los $x$ tal que $x$ es un numero de dos cifras, la segunda es mayor que la primera".

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