Question

a. ¿Con que cifras terminan las potencias de 7 ? ¿De que forma aparecen?
b ¿Con que cifra termina  7 (elevado al 70)? 

Answer 1

Vea:
$7^1=7 \\ 7^2=49 \\ 7^3=343 \\ 7^4=2401$
Asi las potências de 7 tienen las seguintes cifras finales: 1, 7, 9, 3, 1, 7 9, 3 etc
El periodo es de 4 elementos
Dividindose 70 por 4 tenemos resto = 2
Luego 7^70 termina con 9

Answer 2

a. ¿Con que cifras terminan las potencias de 7 ? ¿De que forma aparecen?

Saquemoslo por induccion:

7^0 = 1
7^1 =7
7^2 =49
7^3 =343
7^4=2401
7^5=.......7  (va a terminan en 7)
7^6=......9    (va a terminar en 9)
7^7=.......3  (va a terminar en 3)
7^8 = ......1 (va a termina en 1)
7^9 = .......7 (va a terminar en 7)

y asi continuara

De aqui vemos, que las potencias de 7, terminaran solamente en: {1;3;7; y 9}

Ahora, entonces, !oh, sorpresa!, los numeros con los que terminan las potencias siguen un patron, y cual es ese?

Se van a presentar de la siguiente forma:  7 ; 9; 3;1, 7, 9 , 3 ,1 , 7 , 9 ....

Es decir , el  7;9;3,1 ... se van a repetir, continuamente.

b ¿Con que cifra termina  7 (elevado al 70)?

Para ello, analizamos nuestra tablita anterior, con la diferencia que no consideraremos el 7 elevado a la cero, ya que este no pertenece al patron que se esta produciendo en las potencias de 7 , solo es coincidencia de que termine en 1.

7^1 =7
7^2 =49
7^3 =343
7^4=2401
7^5=.......7  (va a terminan en 7)
7^6=......9    (va a terminar en 9)
7^7=.......3  (va a terminar en 3)
7^8 = ......1 (va a termina en 1)
7^9 = .......7 (va a terminar en 7)

Vemos que cada 4 potencias, las ultimas cifras empiezan a repetirse, entonces,
¿En que cifra terminara 7^70?

Facil, el exponente tenemos que dividirlo entre 4, y luego, el residuo,lo tomamos como posicion de:  7,9,3,1 y este indicara la cifra en la cual termina aquella potencia.

Nota: Si la division es exacta entonces terminara en la ultima cifra del patron que sigue, en este caso, me refiero a 1.

Entonces, hagamoslo.

PAso 1: Dividir 70 entre 4

70 entre 4 te da de Cociente 17 y residuo 2

Paso 2: Trabajamos con el residuo:

El residuo indicara la posicion de la ultima cifra que se encuentra en el patron 7;9;3;1

Entonces, como el residuo es 2 , hacemos lo siguiente:


         7    ;      9 ;          3   ;       1
        ↓           ↓            ↓             ↓
termino 1  termino2  termino3  termino 4

Pero el residuo es 2, entonces cogemos el termino que se encuentra en la posicion 2, que será en este caso el numero 7, y ademas tambien será la ultima cifra de la potencia buscada.


Respuesta: 7^70 Terminara en 9


*******************************Comprobacion*************************************

Si hacemos un ejercicio simple, como por ejemplo.

¿En que cifra terminara 7 elevado a la 6?

Si usamos una calculadora, obtenemos que:

7^6 = 117649 ....y por tanto, terminara en 9

Ahora, comprobemoslo, con lo dicho anteriormente.

*Paso1: dividimos el exponente entre 4

6 entre 4 : nos da: Cociente =1 ; residuo =2

Entonces, ubicamos el termino 2 , el  patron que sigue las potencias de 7:

         7    ;      9 ;          3   ;       1
        ↓           ↓            ↓             ↓
termino 1  termino2  termino3  termino 4

Y comprobamos que efectivamente termina en 9. y por lo tanto nuestro ejercicio de 7 elevado a la 70, tambien estara correcto, dado que nos basamos en lo mismo.