Question

a carmen se le ha extraviado su perro y para encontrarla enia un mensaje de texto a tres amigas pidiendoles que , a su vez , cada una envia una copia a otras tres amigas y a si sucesivamente . ti todas cumplen reenviar el mensaje el mensaje , despues de m envio ¿cuantas copias se habran hecho el mismo mensaje ?

Answer 1

A Carmen se le ha extraviado su perro y para encontrarlo envía un mensaje de texto a tres amigas pidiéndoles que, a su vez, cada una envíe una copia a otras tres amigas y así sucesivamente. Si todas cumplen en reenviar el mensaje, después de "m" envíos ¿cuántas copias se habrán hecho del mismo mensaje?

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Estamos ante la típica progresión geométrica (PG) donde cada término se calcula a partir de multiplicar el anterior por un número llamado razón "r".

En este caso, la razón  r=3  ya que cada amiga que recibe el mensaje debe enviarlo a otras 3 amigas.

El primer término de esa PG serán las 3 primeras amigas que reciben dicho mensaje, o sea que  a₁=3

Y el número de términos que tendrá la PG no es concreto ya que nos dice que se hacen "m" envíos, así pues, n=m y lo que corresponde es apoyarse en la fórmula general de este tipo de progresiones y calcular los mensajes enviados en función de "m". Los datos a usar los he subrayado.

$a_n=a_1*r^{n-1}$

Pero como hemos dejado claro que  n=m, tenemos esto:

$a_m=a_1*r^{m-1}\\ \\ a_m=3*3^{m-1}\\ \\ a_m=3^{m}$

Ahí queda el valor del último término de esa PG en función del nº de mensajes enviados que es "m".

Acudo ahora a la fórmula de suma de términos de cualquier PG ya que lo que nos toca calcular es el total de mensajes enviados y aquí es donde muchos ya no llegan porque erróneamente han pensado que el dato anterior ya es la solución cuando no es así. La fórmula de la suma, dice:

$S_m=\dfrac{a_m*r\ -a_1}{r-1} \\ \\ S_m=\dfrac{a_m*3\ -3}{3-1} \\ \\ S_m=\dfrac{3a_m-3}{2}$

Ahí queda expresada la respuesta. Es decir que para saber el total de mensajes enviados tomaremos el valor del último término  de la PG, lo multiplicaremos por 3, al resultado le restaremos 3 unidades y lo que nos salga lo dividiremos por 2.

Saludos.