Question

A. calcular maximos, minimos y puntos de inflexion de la función f_((x) )=1/4 x^3+3x-2 B. el costo de produccion de x cantidad de producto en una fabrica esta determinado por la expresion c(x)=0.04x^3+0.04x^2+40, encuentre la función de costo marginal C´(x). encuentre el costo marginal cuando 3500 unidades son producidas

Answer 1

Repasando contextos, en los extremos de una función la derivada es nula, con esto tenemos la condición de máximo de una función:

$f'(x_0)=0;f''(x_0)<0=>x=x_0~es~un~maximo$

Y la condición de mínimo:

$f'(x_0)=0;f''(x_0)>0=> x=x_0~es~un~minimo$

Por otro lado los puntos de inflexión son aquellos donde la función cambia su concavidad, la concavidad de la función tiene que ver con la gráfica de la función, una función tiene concavidad positiva cuando su gráfica es cóncava mirándola desde valores muy grandes positivos de y en cambio tiene concavidad negativa cuando la gráfica es cóncava mirándola desde valores negativos muy grandes de y, y en el punto de inflexión es:

$f''(x)=0$

a) Hallamos la derivada de la función:

$f'(x)=\frac{3}{4}x^2+3$

La derivada segunda:

$f''(x)=\frac{6}{4}x=\frac{3}{2}x$

Los extremos de la función son los puntos donde la derivada es cero:

$0=\frac{3}{4}x^2+3\\x^2=-4$

La derivada no tiene raices reales, por ende la función no tiene extremos.

Los puntos de inflexión son aquellos donde la derivada segunda es cero:

$0=\frac{3}{2}x\\x=0$

Y además antes de x=0 la derivada segunda es negativa y positiva a partir de x=0 lo que significa que en ese punto cambia de concavidad negativa a concavidad positiva.

Con lo que, f(x) no tiene extremos y tiene un punto de inflexión en x=0.

b) Nos dicen que la función costo marginal es la derivada de la función costo de producción, nos queda:

$c(x)=0,04x^3+0,04x^2+40\\\\c'(x)=0,12x^2+0,08x$

No queda más que reemplazar x=3500 en la derivada para hallar el costo marginal de 3500 unidades.

$c'(x)=0,12(3500)^2+0,08(3500)=1470280$

Con lo que el costo marginal de 3500 unidades producidas es de 1.470.280