Question

9. La ecuación de movimiento de un móvil está dada por s=f(t) la velocidad instantánea está dada por v=ds/dt=f´(t) y la aceleración instantánea por a=(d^2 s)/〖dt〗^2 =f´´(t). Teniendo en cuenta lo anterior, considere la siguiente situación: Un móvil se mueve con una aceleración a(t)=1-cos⁡(t) donde a (t) representa la aceleración en m/〖seg〗^2 y v_0=3 siendo v_0 representa la velocidad en el instante t=0.

¿Cuál es la ecuación de la velocidad v (t) en un instante de tiempo (t)?
¿Cuál es la ecuación del movimiento S (t)?
¿Cuál es la distancia recorrida entre t=1 y t=2?

Answer 1

PREGUNTA

La ecuación de movimiento de un móvil está dada por s=f(t) la velocidad instantánea está dada por v=ds/dt=f'(t) y la aceleración instantánea por a=(d^2 s)/(dt^2 )=f^'' (t).

Teniendo en cuenta lo anterior, considere la siguiente situación:

Un móvil se mueve con una aceleración a(t)=1-cos⁡(t) donde a(t) representa la aceleración en m/Seg^2 y v_0=3 siendo v_0 representa la velocidad en el instante t=0.  

a. ¿Cuál es la ecuación de la velocidad V (t) en un instante de tiempo (t)?

b. ¿Cuál es la ecuación del movimiento S (t)?  

c. ¿Cuál es la distancia recorrida entre t=1 y t=2 ?

SOLUCIÓN

Hola‼  ✋

¿Cuál es la ecuación de la velocidad V (t) en un instante de tiempo (t)?

Para calcular V(t) integraremos una vez la función a(t)

                                        $a = 1 - \cos(t) \\\\\frac{dV}{dt}= 1 - \cos(t) \\\\dV = (1 - \cos(t))dt\\\\\int\limits dV = \int\limits {(1 - \cos(t))} \, dt \\\\V = t - \sin(t) + C_{1}\\\\\mathrm{La \: constante\: lo \: hallaremos \: con}\\\mathrm{la \: condici\'on}\\\\\boxed{v_{o}= 3 \Rightarrow t _o =0}\\\\3 = 0 - \sin(0) + C_{1}\\\\C_{1} = 3\\\\\mathrm{La \: ecuaci\'on \: de \: la \: velocidad \:ser\'a}\\\\\boxed{\boldsymbol{V(t) = t - \sin(t) + 3}}$

¿Cuál es la ecuación del movimiento S (t)?

Haremos el mismo procedimiento anterior solo que ahora integraremos la velocidad

                                         $V = t - \sin(t) +3 \\\\\frac{dS}{dt}= t - \sin(t) + 3 \\\\dS = (t-\sin(t) +3))dt\\\\\int\limits dS = \int\limits {(t-\sin(t) +3)} \, dt \\\\S = \frac{t^{2}}{2} + \cos(t) + 3t + C_{2}\\\\\mathrm{Supondremos\: que \: inici\'o \: en \: el} \\\\ \mathrm{origen}\\\\\boxed{S_{o}= 0 \Rightarrow t _o =0}\\\\0 = \frac{0^{2}}{2} + \cos(0) + 3(0) + C_{2}\\\\C_{2} = -1\\\\\mathrm{La \: ecuaci\'on \: del \: movimiento \:ser\'a}\\\\\boxed{\boldsymbol{S(t) = \frac{t^{2}}{2} + \cos(t) + 3t-1}}$

¿Cuál es la distancia recorrida entre t=1 y t=2 ?

Para la distancia graficamos la función S(t)(Lo dejo en la imagen)