Question

9. Encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación trigonométrica para ángulos entre 0°≤ x ≤ 360° tan2 x + 3 tan x + 2 = 0

Answer 1

Un ejercicio muy simple.
El referencial es desde [0 , 2pi] o sea los cuatro cuadrantes

Para comenzar, cambiamos la variable tan x por a
O sea tan x = a, quedando la expresión así

a^2 + 3 a + 2 = 0     Un polinomio muy simple, sexto caso de factorización para sacar sus raíces

(a + 2) ( a + 1) = 0
De donde queda
a + 2 = 0          a + 1 = 0
a = -2               a = -1 
Antes habíamos cambiado la variable, regresamos a la que teníamos al principio

tan x = -2                 tan x = -1
NUNCA NI LA TAN NI SEN NI COS VALEN MAS DE 1 O MENOS DE -1
Dicho esto, Cuando la tan x es igual a -2????   NUNCA

Ahora, Cuando la tanx = -1?? Si te sabes la tabla de los ángulos veras que la tan x vale 1 en pi/4 o 45º PERO ESO ES 1 POSITIVO
la tangente en el primer cuadrante y tercer cuadrante es positiva, y el segundo cuadrante y cuarto vale -1

45º primer cuadrante
45 + 90 = 135 segundo cuadrante
135 + 90 = 225 tercer cuadrante
225 + 90 = 315 cuarto cuadrante

Dicho lo anterior
X = 135º y 315º
COMPRUEBALO CON TU CALCULADORA

Espero te haya servido y entendido.