Question

9. Determina la medida del ángulo A en el triángulo oblicuangulo mostrado en la figura siguiente.​

Answer 1

La medida del ángulo A es de 35.8°

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo

Donde se conocen las magnitudes de los tres lados del triángulo

$\bold{a = 50 \ u }$

$\bold{b = 35 \ u }$

$\bold{c =74 \ u }$

Donde se pide determinar la medida del ángulo denotado como A del triángulo

Para resolver este ejercicio y determinar el ángulo buscado del triángulo vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos, es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

Hallamos la medida del ángulo A

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2} }{2 \ . \ b \ . \ c } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{(35 \ u)^{2} + (74 \ u) ^{2} - (50 \ u)^{2} }{2 \ . \ 35 \ u \ . \ 74 \ u } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{1225 \ u^{2} + 5476 \ u^{2} - 2500\ u^{2} }{5180 \ u^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{6701 \ u^{2} - 2500 \ u^{2} }{5180 \ u^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{4201 \not u^{2} }{5180 \not u^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{ 4201}{5180 } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )=0.8110038610038 }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo}$

$\boxed {\bold {A=arccos( 0.8110038610038) }}$

$\boxed {\bold {A = 35.80585^o }}$

$\large\boxed {\bold {A =35.8^o }}$

La medida del ángulo A es de 35.8°

Aunque el enunciado no lo pida determinamos el valor de los dos ángulos faltantes B y C

Hallamos el valor del ángulo B

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\boxed {\bold { a^{2} + c^{2} - b^{2} = 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2} }{2 \ . \ a \ . \ c \ } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{(50 \ u )^{2} + (74 \ u )^{2} - (35 \ u )^{2} }{2 \ . \ 50 \ u \ . \ 74 \ u } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{2500\ u^{2} + 5476\ u^{2} - 1225 \ u^{2} }{7400 \ u^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{7976\ u^{2} - 1225 \ u^{2} }{7400 \ u^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{6751 \not u^{2} }{7400 \not u^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{ 6751 }{7400 } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= 0.9122972972973 }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo}$

$\boxed {\bold {B=arccos( 0.9122972972973 ) }}$

$\boxed {\bold {B = 24.17522^o }}$

$\large\boxed {\bold {B = 24.17^o }}$

El valor del ángulo B es de 24.17°

Hallamos el  valor del ángulo C

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Como ya conocemos dos de los ángulos del triángulo determinamos el valor del tercero

Planteando:

$\boxed {\bold {180^o= A +B +C }}$

$\boxed {\bold {180^o= 35.8^o +24.17 ^o +C }}$

$\boxed {\bold {C = 180^o- 35.8^o -24.17 ^o }}$

$\large\boxed {\bold {C = 120.03^o }}$

El valor del ángulo C es de 120.03°

Se agrega gráfico a escala para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteadas