Question

8. Ricardo lleva su coche con una rapidez constante de 15 m/s que corresponden a 34mi/h pasa por frente a una escuela donde la velocidad limite es de 10 m/s, es decir, unas 22 mi/h. Justo ahí un policía de carreteras está en su moto de susuki 650 arranca para perseguir a Ricardo para multarlo, el policía en su supermoto acelera a 3.00 m/s. ¿Qué distancia total habrá recorrido Ricardo en su coche hasta que el policía lo atrapo?

Answer 1

a)  El oficial de policía alcanza al conductor del auto en 10 segundos.

b) El conductor del auto recorre 150 metros cuando el policía lo alcanza

c) La velocidad del oficial de policía es de 30 m/s

Procedimiento:

El oficial de carretera y el conductor del auto se mueven con una aceleración constante (la cual es cero para el auto)

Se toma como punto de origen el cruce escolar siendo:

$\bold {x_{0} = 0 \ \ \ \ \ para \ ambos \ veh\'iculos } }}$

Donde se tiene

${\large\bold { x_{p} \ \ \textsf{ posici\'on del oficial de polic\'ia }}$

${\large\bold { x_{a} \ \ \textsf{ posici\'on del conductor del auto }}$

${\large\bold { V_{0p} = 0 \ \ \textsf{ velocidad inicial del oficial de polic\'ia }}$

${\large\bold { V_{0a} = 15 \ m/s \ \ \textsf{ velocidad inicial del conductor del auto }}$

${\large\bold { a_{p} = 3\ m/s^{2} \ \ \textsf{ aceleraci\'on constante del oficial de polic\'ia }}$

${\large\bold { a_{a} = 0 \ \ \textsf{ aceleraci\'on constante del conductor del auto }}$

a) Determinando el tiempo tras el cual el oficial de policía alcanza al conductor del auto

Debemos hallar el valor del tiempo t para cuando los dos vehículos se encuentren en la misma posición

$\boxed {\bold { x ={x_{0} +V_{0x} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{x} \ . \ t^{2} }}}$

Aplicamos la ecuación a cada vehículo

$\large\textsf{Para el oficial de polic\'ia } } }}$

$\boxed {\bold { x ={x_{p} +V_{0p} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{p} \ . \ t^{2} }}}$

$\boxed {\bold { x =0 +0 \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{p} \ . \ t^{2} }}}$

$\boxed {\bold { x =\frac{1}{2} \ . \ a_{p} \ . \ t^{2} }}}$

$\boxed {\bold { x =\frac{1}{2} \ . \ 3 \m/s^{2} \ . \ t^{2} }}}$

$\large\textsf{Para el conductor del auto } } }}$

$\boxed {\bold { x ={x_{a} +V_{0a} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{a} \ . \ t^{2} }}}$

$\boxed {\bold { x ={0 +V_{0a} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ 0 \ . \ t^{2} }}}$

$\boxed {\bold { x= V_{0a} \ . \ t }}}$

$\boxed {\bold { x= 15 \ m/s \ . \ t }}}$

$\large\textsf{Dado que } \bold { x_{0p} = x_{0a} } \ \ \large\textsf{para un cierto tiempo t } }}\\\large\textsf{Igualamos las dos expresiones para despejar el tiempo t }$

$\boxed {\bold { \frac{1}{2} \ . \ 3 \m/s^{2} \ . \ t^{2} =15 \ m/s \ . \ t }}}$

$\textsf{Quitamos unidades para facilitaci\'on }$

$\boxed {\bold { \frac{3}{2} \ . \ t^{2} =15 t }}}$

$\boxed {\bold { \frac{3t^{2} }{2} =15 t }}}$

$\boxed {\bold { \frac{3t^{2} }{2} -15 t = 0 }}}$

$\boxed {\bold {t \ \left (\frac{{3t} }{2} -15\right ) = 0 }}}$

$\large\boxed {\bold { t = 0 \ segundos }}}$

$\boxed {\bold { \frac{3t}{2} -15 = 0 }}}$

$\boxed {\bold { 3t =15 = 0 }}}$

$\boxed {\bold { 3t = 2 \ . \ 15 }}}$

$\boxed {\bold { 3t = 30 }}}$

$\boxed {\bold { t = \frac{30}{3} }}}$

$\large\boxed {\bold { t = 10 \ segundos }}}$

$\large\textsf{Donde hay dos instantes de tiempo en x } }}\\\large\textsf{El primero t = 0 es cuando el conductor del auto pasa por el cruce }\\\large\textsf{escolar en donde est\'a el polic\'ia con su moto}\\\large\textsf{El segundo, t= 10 segundos es cuando el oficial de polic\'ia alcanza }\\\large\textsf{al conductor del auto }$

b) Hallando la distancia recorrida por el conductor del auto

$\boxed {\bold { x_{a} ={0 +V_{0a} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ 0 \ . \ t^{2} }}}$

$\boxed {\bold { x_{a}= V_{0a} \ . \ t }}}$

$\textsf{Reemplazando }$

$\boxed {\bold { x_{a}= 15 \ m/ s \ . \ 10 \ s }}}$

$\large\boxed {\bold { x_{a}= 150 \ metros }}}$

Podemos hallar la distancia recorrida por el oficial de policía

$\boxed {\bold { x_{p} =0 +0 \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{p} \ . \ t^{2} }}}$

$\boxed {\bold { x_{p} =\frac{1}{2} \ . \ a_{p} \ . \ t^{2} }}}$

$\textsf{Reemplazando }$

$\boxed {\bold { x_{p} =\frac{1}{2} \ . \ ( 3 \ m/s^{2}) \ . \ (10 \ s^{2} ) }}}$

$\large\boxed {\bold { x_{p}= 150 \ metros }}}$

Se verifica que cuando el oficial de policía alcanza al conductor del auto. ambos recorrieron la misma distancia.

c) Determinando la velocidad del oficial de policía

La magnitud de la velocidad del oficial de policía para el instante de tiempo hallado está dado por:

$\boxed {\bold { V =V_{0x} + \ a_{x} \ . \ t }}}$

$\boxed {\bold { V_{p} =V_{0p} + \ a_{p} \ . \ t }}}$

$\boxed {\bold { V_{p} =0 + \ a_{p} \ . \ t }}}$

$\boxed {\bold { V_{p} = \ a_{p} \ . \ t }}}$

$\boxed {\bold { V_{p} = \ 3 \ m/s^{2} \ . \ 10 \ s }}}$

$\large\boxed {\bold { V_{p} = \ 30 \ m/s }}}$