Question

- 8. Demostrar que si f: A + B y g: B → C son funciones, entonces se tiene las siguientes propiedades de la función gof: a. Si f yg son funciones inyectivas, entonces gof es inyectiva b. Si f yg es sobre, entonces gof es sobre c. Si gof es inyectiva, entonces f es inyectiva d. Si gof es sobre, entonces g es sobre.​

Answer 1

FUNCIONES

Sean A y B conjuntos no vac´ıos. Una funci´on o aplicaci´on f de A en B, que se denota con

f : A → B, es una relaci´on de A en B en la que cada elemento de A aparece exactamente

una vez como la primera componente de un par ordenado en la relaci´on. Si (x, y) ∈ f, suele

escribirse que f(x) = y e y se conoce como la imagen de x mediante f, mientras que x es una

preimagen de y.

Preguntas: Si f es una funci´on de A en B, ¿puede asegurarse siempre que

1. si (a, b),(a, c) ∈ f, entonces b = c?

2. si (a, c),(b, c) ∈ f, entonces a = b?

Ejercicios: Determine cu´ales de las siguientes relaciones f entre los conjuntos A y B dados

son funciones:

1. f = {(2, 5),(3, 4),(2, 2),(1, 3)}, donde A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4, 5}.

2. f = {(c, b)(a, b),(b, d)}, donde A = {b, a, c} y B = {d, b, c, a}.

3. f = {(−1, 1),(1, 1),(2, 4),(−2, 4)}, donde A = {−2, −1, 0, 1, 2} y B = {1, 2, 3, 4}.

4. f = {(x, y) ∈ A × B : x = 2y}, donde A = B = Z+.

5. f = {(x, y) ∈ A × B : y = 3x}, donde A = B = Z+.

DOMINIO, CODOMINIO Y RANGO DE UNA RELACION´

Sea f : A → B una funci´on. El dominio de f es el conjunto A y lo denotaremos por Df o

Dom(f). El codominio de f es el conjunto B y lo denotaremos por Cf o Codom(f). El rango

de f es el conjunto de im´agenes y ∈ B correspondientes a todos los elementos del dominio y lo

denotaremos por Rf o Rgo(f).

Ejercicios: Determine el dominio, el codominio y el rango de las siguientes funciones

f : A → B para los conjuntos A y B dados:

1. f = {(1, 2),(2, 2),(3, 2),(4, 4)}, donde A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 4}.

2. f = {(a, m),(v, b),(t, m)}, donde A = {v, a, t} y B = {m, n, b, c}.3. f = {(−1, 1),(1, 1),(2, 4),(−2, 4)}, donde A = {−2, −1, 0, 1, 2} y B = {1, 2, 3, 4}.

4. f = {(x, y) ∈ A × B : y = 5x}, donde A = B = Z+.

5. f = {(x, y) ∈ A × B : y = | x| + 1}, donde A = Z

∗ y B = Z

+.

FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS O BIYECTIVAS

Sea f : A → B una funci´on. Diremos que f es

⋄ inyectiva: si cada elemento de B tiene a lo m´as una preimagen. Esto es, si para todo

x1, x2 ∈ A, con x1 6= x2, tenemos que f(x1) 6= f(x2).

⋄ sobreyectiva: si cada elemento de B tiene al menos una preimagen. Esto es, si

Rgo(f) = Codom(f).

⋄ biyectiva: si cada elemento de B tiene exactamente una preimagen. Esto es, si f es

inyectiva y sobreyectiva.

COMPOSICION DE FUNCIONES ´

Si f : A → B y g : B → C, definimos la funci´on compuesta, que designaremos por

g ◦ f : A → C, como (g ◦ f)(a) = g(f(a)), para cada a ∈ A.

Ejercicio: Sean A = {1, 2, 4, 8}, B = {a, e, i} y C = {r, s, t, v} con f : A → B y

g : B → C dadas por f = {(1, a),(2, i),(4, i),(8, a)} y g = {(a, t),(e, r),(i, s)}. Obtenga, si es

posible, g ◦ f y f ◦ g.

Propiedades: Sean f : A → B y g : B → C.

1. Si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f es inyectiva.

Demostraci´on: Supongamos que x1 y x2 son elementos de A tales que

(g ◦ f)(x1) = (g ◦ f)(x2) ⇒ g(f(x1)) = g(f(x2))

⇒ f(x1) = f(x2) (g es inyectiva)

⇒ x1 = x2 (f es inyectiva)

Luego, g ◦ f es inyectiva.

2. Si f y g son sobreyectivas, entonces g ◦ f es sobreyectiva.

Demostraci´on: Dado que g ◦f : A → C, elegimos un elemento cualquiera z ∈ C. Debemos

demostrar que existe x ∈ A tal que z = (g ◦ f)(x).

Como z ∈ C y g : B → C es sobreyectiva, entonces existe y ∈ B tal que z = g(y).

Y como y ∈ B y f : A → B es sobreyectiva, entonces existe x ∈ A tal que y = f(x).

Luego, z = g(y) = g(f(x)) = (g◦f)(x), quedando as´ı demostrado que g◦f es sobreyecti