Question

8.- ¿ Cuál es el valor del ángulo A en el siguiente triángulo - oblicuángulo? * B C= 60 a=75 135° A b= OA) 50.67 B) 62.11 O C) 70° O D) 67.67 °​

Answer 1

Lo que tu profesor espera de respuesta es que digas que el ángulo B tiene un valor de 66.11°.

Lo cual es erróneo porque este ejercicio tiene un error conceptual

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Se pide hallar el valor del ángulo A en el triángulo presentado en la figura que acompaña al ejercicio

Donde este ejercicio está planteado con un severo error conceptual como se verá más adelante

No obstante, se desarrollará el ejercicio de manera habitual para que podamos ver en donde se encuentra el error de concepto

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallamos el valor del ángulo A (α) que se opone al lado de 75 unidades

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ 75 \ u }{ sen(\alpha ) } = \frac{ 60 \ u }{sen(135^o ) } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha ) = \frac{ 75 \not u \ . \ sen(135^o ) }{60 \not u } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha ) = \frac{ 75 \ . \ 0.7071067811865 }{60 } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha ) = \frac{ 53.033008588991 }{60 } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha ) = 0.8838834764831 }}$

Aplicamos la inversa del seno

$\boxed { \bold { \alpha = arcsen(0.8838834764831 ) }}$

$\large\boxed { \bold { \alpha = 62.11^o }}$

El valor del ángulo A (α) es de 62.11°

Siendo esta la respuesta que espera tu profesor que le digas

La cual es absolutamente errónea

Dado que como se mencionó al inicio este ejercicio está planteado con un error de concepto

Un triángulo debe cumplir con ciertas condiciones para ser considerado como tal

Entre esas condiciones se tiene que

Al mayor ángulo se le oponga el lado de mayor magnitud

Condición que aquí no se cumple, dado que al ángulo mayor de 135° tiene como lado opuesto uno de longitud de 60 unidades, siendo el lado de mayor longitud -que es el de 70 unidades-  adyacente al ángulo mayor y no el opuesto

Se debe tener en cuenta la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo que es siempre de 180°

Condición que tampoco se cumple, dado que se tiene por enunciado un ángulo de 135°, luego quedan para distribuir entre los dos ángulos agudos restantes A y B 45° para ambos

Y se ha hallado para el ángulo A un valor de 66.11°

Donde si sumamos sólo el valor del ángulo A la sumatoria de los ángulos internos supera los 180°

Sin tener en cuenta que aún hay un tercer ángulo el B

$\boxed {\bold { 180^o = A + C+B}}$

$\boxed {\bold { 180^o = 66.11^o+ 135^o+ \ B}}$

$\boxed {\bold { 180^o \neq201.11^o+ \ B}}$

Concluyendo que el triángulo dado no cumple con las propiedades que debe tener un triángulo para ser considerado como tal. Por lo tanto no lo es

Plantea a tu profesor estas conclusiones.

En el segundo archivo adjunto se muestra un triángulo, donde sí el ángulo de mayor valor se opone al lado de mayor longitud, sólo habiendo intercambiado el valor de los lados dados por enunciado

Este sí es un triángulo, dado que cumple las propiedades para serlo

No se ha desarrollado la resolución porque no es lo pedido. Es sólo a fines que le muestres este triángulo a tu profesor. Y donde este se puede resolver de la manera usual.