7Analiza las situaciones y luego, realiza lo que se indica en cada caso. Se hace girar la ruleta (del 1 al 36) y se anota el resultado obtenido. Se consideran los siguientes sucesos: A: “Salir número par” B: “Salir divisor de 12” C: “Salir número menor que 10” D: “Salir número mayor que 10” Forma los sucesos A, B, C y D y sus contrarios. b. Se lanza un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6 y se anota el número de puntos obtenidos. •¿Es aleatorio este experimento? Determina el espacio muestral
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Los números reales ubicados en la recta real (Figura 2) están ordenados así:
• El número 2
425
, 2 122
, lo cual indica que 2
425
está ubicado sobre la
recta real más a la izquierda de 2
122
.
• El número .
e22
, entonces está ubicado a la derecha de e22
.
• El número # , esto significa que cumple alguna de las siguientes posibilidades , , o 5 . En este caso se cumple
la relación de igualdad (5).
Ejemplo 2
Para ordenar de menor a mayor el conjunto de números
se puede hacer una aproximación (para facilitarla comparación) a dos decimales de las expresiones decimales como se muestra a continuación:
<1,10 <1,19 2
728
< 20,88 2
225
< 20,4
Luego, el orden del conjunto es: 2
728
, 2
225
, ,
Ejemplo 3
Si a y b son números reales se cumple solo una de las siguientes relaciones:
Relación Ejemplo
a , b, si a 2 b , 0 3,5 , 5,2, porque 3,5 2 5,2 es 21,7 y 21,7 , 0.
a . b, si a 2 b . 0 8,5 . 6,4, porque 8,5 2 6,4 es 2,1 y 2,1 . 0.
a 5 b, si a 2 b 5 0 9,34 5 9,34, porque 9,34 2 9,34 5 0.
Figura 1
Figura 2
Tabla 1
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Destrezas con criterios de desempeño: • Hallar el valor absoluto de números reales.
• Establecer relaciones de orden en un conjunto de números reales utilizando la recta numérica y la simbología
matemática (=, <, ≤, >, ≥).
Ten en cuenta
La distancia entre dos puntos siempre
es positiva porque es la longitud de un
segmento de recta.
Ten en cuenta
) a ) 5
Por lo tanto ) a ) $ 0
Razonamiento matemático
De invierno a verano
La temperatura de invierno a verano en
una ciudad cambia de 227 ºC a 28 ºC
respectivamente.
• Utiliza la fórmula de distancia con
valor absoluto para hallar cuántos
grados Celsius hay entre las dos
medidas.
23 0 5
u23u 5 3 u5u 5 5
3.1 Valor absoluto
El valor absoluto de un número real a se simboliza con ) a ) y es la distancia
que hay desde a hasta cero sobre la recta real.
Ejemplo 4
En la Figura 3 se representa en la recta real el significado del valor absoluto de
los números 23 y 5.
Para simplificar expresiones con valor absoluto es necesario utilizar las
propiedades que se definen en la Tabla 2. Allí los valores de a y b son reales.
Propiedad Ejemplos
1
El valor absoluto de un número es
siempre positivo o cero. ) a ) $ 0 ) 28 ) 5 8 $ 0
2
Un número y su opuesto tienen
siempre el mismo valor absoluto. ) a ) 5 ) 2a ) ) 35,6 ) 5 ) 235,6 )
3
El valor absoluto de un producto es
el producto de los valores absolutos. ) ab ) 5 ) a ) ) b ) ) 24 ? 9 ) 5 ) 24 ) ) 9 )
4
El valor absoluto de un cociente es
el cociente de los valores absolutos.
5
) a )
22) b )
5
) 212 )
2222) 7 )
Ejemplo 5
Para simplificar la expresión se aplican algunas de las
propiedades del valor absoluto, así:
5 Propiedad 3
5
5 Propiedades 2 y 4
5 46 Propiedad 1
Si a y b son números reales y a , b, entonces la distancia entre los puntos
a y b en la recta real es: ) b 2 a ) = ) a 2 b )
Ejemplo 6
Para hallar la distancia entre los números 22 y 11, se calcula el valor absoluto
de la resta del número mayor con el número menor, así:
) 11 2 (22) ) 5 ) 13 ) 5 13 es la distancia entre los números 22 y 11.
Figura 3
Tabla 2
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3 La recta real
Ten en cuenta
En la notación y gráfica de intervalos:
Los paréntesis ( ) y los círculos abiertos
indican que los valores de los extremos
están “excluidos” del intervalo.
Los corchetes [ ] y los círculos llenos
indican que los valores de los extremos
están “incluidos” en el intervalo.
Ten en cuenta
El símbolo ` no es un número.
Significa “infinito” e indica que el
intervalo no tiene punto final en el
extremo indicado.
a b
a b
a b
a b
a
a
b
b
6 6.5 6,9
3.2 Intervalos, semirrectas y entornos
Un intervalo es un subconjunto de números reales que se corresponden con
los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real.
La clasificación de los intervalos se presenta en la Tabla 3, donde los valores de
a y b son reales.
Nombre Notación Conjunto Gráfica
Intervalo abierto (a, b) hx/a , x ,bj
Intervalo cerrado [a, b] hx/a # x # bj
Intervalo
semiabierto
[a, b) hx/a # x ,bj
(a, b] hx/a , x # bj
Semirrecta
(a, `) hx/x . aj
[a, `) hx/x $ aj
(2`, b) hx/x , bj
(2`, b] hx/x # bj
Recta (2`, `) R
Actividad resuelta
Resolución de problemas
1 Un sismo se considera fuerte según la escala de Richter si tiene una
magnitud mayor o igual a 6 y menor que 6,9. ¿Qué intervalo hace relación
a la situación planteada?
Solución:
El tipo de intervalo que representa la situación es semiabierto, por tanto
su notación es [6; 6,9), el conjunto correspondiente hx/6 # x , 6,9j, y su
representación gráfica corresponde a la Figura 5.
Explicación paso a paso: