7. Sobre una superficie horizontal totalmente lisa se tiene un cuerpo de masa M=1,00 kg, el cual está atado a un resorte ideal de constante k=100,0 N/m, el otro extremo del resorte está fijo a una pared. El cuerpo en el instante de tiempo inicial se encuentra en la posición de 3,00 cm y la velocidad inicial es de 40,0 cm/s. El sistema no tiene ningún tipo de amortiguamiento. Halle la frecuencia propia del sistema (w0) en rad/s. El periodo para dichas oscilaciones armónicas en segundos. La amplitud de la posición para estas condiciones. El valor máximo de la velocidad y la aceleración. La energía cinética y potencial de la masa cuando está a la mitad de su posición de equilibrio.
Respuestas a la pregunta
RESPUESTA:
Vamos a utilizar las ecuaciones de resorte y su movimiento.
1- La frecuencia es la relación entre la masa y la constante del resorte.
ω = √(M/k)
ω = √(1kg/100 n/m)
ω = 0.1 rad/s
2- El periodo esta relacionado con la frecuencia.
T = 2π/ω
T = 2π/0.1rad/s
T = 20π s ≈ 62.83 s
3- Amplitud, utilizaremos la ecuación de posición.
v = ω·√(A²-x²)
40 cm/s = 0.1 rad/s·√(A² - 3²)
A = 400 cm
A = 4 m
4- Buscaremos la ecuación de posición.
x(t) = A·sen(ω·t + α)
x(t) = 4·sen(0.1t + π/2)
x(t) = 4·cos(0.1t)
Para encontrar la velocidad derivamos respecto al tiempo.
dx/dt = v = -4Sen(0.1t)·(0.1)
V(t) = - 0.4·Sen(0.1t)
La velocidad máxima será - 0.4 m/s
Volvemos a derivar para encontrar la aceleración.
a = dv/dt = -0.4cos(0.1t)·0.1
a = -0.04cos(0.1t)
La aceleración máxima será -0.04 m/s²
5- La energía potencial y energía cinemática cuando esta a la mitad de se recorrido.
Ep = 1/2 · k· x² → la mitad del recorrido es A/2
Ep = 1/2 · 100 N/m · (1m)²
Ep = 50 J
Ahora la energía cinemática. Con la ecuación de velocidad buscamos la velocidad a media amplitud.
v(31.42s) = - 0.4·Sen(0.1(31.42s)) = -1.629x10⁻⁴ m/s
Ec = 1/2·m·V²
Ec = 1/2· 1kg · (-1.629x10⁻⁴ m/s )²
Ec = 1.32x10⁻⁸ J