Question

7. Los ángulos de depresión desde lo alto de un edificio, hacia dos
objetos en el piso son de 28° y 42° respectivamente. Si la altura del
edificio es de 17m, ¿qué distancia hay entre un objeto y otro?

Answer 1

La distancia entre los dos objetos es de 13.10 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El triángulo ACD: el cual está conformado por el lado CD que equivale a la altura del edificio, -donde este cateto es el mismo para ambos triángulos- , el lado AC que representa la distancia desde la base del edificio hasta el objeto más lejano, -donde no conocemos esta longitud a la cual llamaremos distancia "x"-, y el lado AD que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto del edificio- hasta un objeto, el cual es visto con un ángulo de depresión de 28°

Y el triángulo BCD: el cual está configurado por el lado CD que equivale a la altura del edificio, el lado CB que es la distancia desde la base del edificio hasta el objeto más cercano, -de la que no conocemos su magnitud a la cual llamaremos distancia "y"- y el lado DB que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto del edificio- hasta el otro objeto, el cual es visto con un ángulo de depresión de 42°

Donde se pide hallar la distancia entre ambos objetos

Siendo la distancia "x" la longitud hasta el objeto más lejano desde la base del edificio

E "y" la distancia hasta el objeto más cercano de la base del edificio

Halladas las distancias "x" e "y", determinaremos la distancia entre ambos objetos restando de la distancia "x" la distancia "y"

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se trasladan los ángulos de depresión de 28° y de 42° a los puntos A y B respectivamente para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto opuesto a los ángulos dados -que es la altura del edificio- y conocemos los ángulos de depresión de 28° y de 42° y debemos hallar las distancias "x" e "y", - ambos catetos adyacentes- en cada uno de los triángulos rectángulos determinaremos ambas distancias mediante la razón trigonométrica tangente de los respectivos ángulos de depresión

En el triángulo ACD

Hallamos la distancia "x" -distancia hasta el objeto más lejano-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =28^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(28^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(28^o) = \frac{ altura\ edificio }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ edificio \ }{ tan(28^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 17 \ m \ }{ tan(28^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 17 \ m \ }{ 0.531709431661 } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 31.97 \ metros } }$

$\textsf{Redondeando por exceso }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 32 \ metros } }$

Luego la distancia x - hasta el objeto más lejano- es de 32 metros

En el triángulo BCD

Hallamos la distancia "y" -distancia hasta el objeto más cercano-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β $\bold{\beta = 42^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(42^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(42^o) = \frac{ altura\ edificio }{ distancia \ y } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ altura\ edificio \ }{ tan(42^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ 17 \ m \ }{ tan(42^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ 17 \ m \ }{ 0.900404044298 } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 18.88 \ metros } }$

$\textsf{Redondeando por exceso }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 18.90 \ metros } }$

Por tanto la distancia y - hasta el objeto más cercano- es de 18.90 metros

Hallamos la distancia entre ambos objetos

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Objetos = distancia \ x -\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Objetos= 32 \ m -\ 18.90 \ m } }$

$\large\boxed{\bold {Distancia \ entre \ Objetos= 13.10 \ metros } }$

La distancia entre los ambos objetos es de 13.10 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto