Question

7. En un cuadrado ABCD, en el lado BC, se ubica el punto E de modo que las prolongaciones de AE y DC se intersecan en F. ey Si BE = 8 cm y EC = 4 cm, entonces EF será C) 6 cm A) 2/13 cm D) 12 cm B) 13 cm E) 8 cm​

Answer 1

La longitud del segmento EF es $2\sqrt{13}$

Explicación paso a paso:

En el cuadrado planteado, los triángulos ADF y ECF son semejantes, por lo que, por un lado tenemos:

$\frac{AD}{DF}=\frac{EC}{CF}$

Y a su vez es AD=BE+EC y además es DF=DC+CF, por lo que se puede usar esta expresión para calcular la longitud CF:

$\frac{BE+EC}{DC+CF}=\frac{EC}{CF}\\\\CF=EC\frac{DC+CF}{BE+EC}=EC\frac{DC}{BE+EC}+EC\frac{CF}{BE+EC}\\\\CF(1-\frac{EC}{BE+EC})=EC\frac{DC}{BE+EC}\\\\CF=EC\frac{DC}{BE+EC}\frac{1}{1-\frac{EC}{BE+EC}}=4cm\frac{12cm}{8cm+4cm}\frac{1}{1-\frac{4cm}{8cm+4cm}}\\\\CF=6cm$

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo ECF se puede calcular la medida de la hipotenusa EF:

$EF=\sqrt{CF^2+EC^2}=\sqrt{(6cm)^2+(4cm)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$