7) Determine la ecuación del plano que contiene al punto A(2;-1;3) y es paralelo al plano a la ecuación 3x-2y+4z=6
Respuestas a la pregunta
no me deja colocar el video
Respuesta:
3x - 2y + 4z = 20
Explicación paso a paso:
¿Qué es un plano? Por ejemplo, ¿qué quiere decir que la ecuación de un plano sea 3x - 2y + 4z = 6? Pues no es nada más que el conjunto de puntos (x, y, z) en el plano que cumplen con dicha ecuación. Por ejemplo, el punto (0, 1, 2) pertenece al plano pues satisface la ecuación (¡compruébalo! sustituye x = 0, y = 1, z = 2 y nota que en efecto el resultado es 6).
Hay que saber que un plano de la forma Ax + By + Cz = D tiene como vector normal el vector n = (A, B, C). Recordemos que el vector normal a un plano es aquel que "sale" en un ángulo de 90 grados hacia fuera de él. Por ejemplo, si tu escritorio fuese el plano, un vector normal sería un lápiz puesto de pie, un cohete, torre o en general cualquier cosa que salga despedida desde él.
Ahora imagina dos planos paralelos. ¿Cómo es eso? Pues son dos planos que no se intersectan nunca; que están separados por una distancia constante. Es como si sobre tu escritorio pusieras otro escritorio más: ahora cada una de las superficies del escritorio definen un plano que, además, son paralelos entre sí.
Dejo esto para razonar: si dos planos son paralelos entonces si un vector es normal a uno de ellos lo será también al segundo.
Dicho todo esto, el plano de ecuación 3x - 2y + 4z = 6 tiene vector normal a él n = (3, -2, 4). Si un plano es paralelo a él, entonces también tendrá ese vector como normal, por lo que el nuevo plano debe ser de la forma:
3x - 2y + 4z = k, donde k es un número real que estamos por determinar.
Perfecto, ahora solo queda usar la segunda información del enunciado. Sabemos que el punto A(2; -1; 3) pertenece a él, ¿y qué dijimos que implica esto? Pues exactamente: si sustituimos x = 2, y = -1, z = 3, la ecuación debe cumplirse.
Haciendo esto tenemos:
3x - 2y + 4z = k por lo que 3(2) -2(-1) +4(3) = k
Es decir, 20 = k.
Por lo que el valor de k es 20 y así la ecuación del plano es:
3x - 2y + 4z = 20
¡Espero haberte ayudado!