6. Una caja sin tapa se construye con un pedazo de cartón de 70 por 80 cm., cortando un cuadrado de cada
esquina Epresa el volumen de la caja en función de la longitud del lado del cuadrado
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
El volumen máximo que puede tener esa caja es de:
Vcaja = L³/6
ANÁLISIS
Como dato nos dan un cuadrado de cartón de lado L, donde L es una constante conocida.
Al cuadrado de cartón se le cortan unos cuadrados en las equinas como indica la imagen adjunta. Esto nos deja que la caja va a tener las siguientes medidas:
Largo: L - 2x
Ancho: L - 2x
Alto: x
Aparte, conocemos que el Volumen de un cubro es igual al producto de su largo por su ancho y su alto:
Vcaja = (L-2x).(L-2x).x
Vcaja = (L-2x)².x
Vcaja = (L²-4Lx + 4x²) .x
Vcaja = 4x³ - 4Lx² + L²x
Una vez conocida la función para calcular el volumen en función de x, para saber cual es el valor optimo debemos hallar su primera derivada y la igualamos a 0:
V'caja = 12x² - 8Lx + L² = 0
De allí, resolvemos la ecuación de segundo grado donde a = 12, b = -8L y c = L²:
x = \frac{-(b)+/- \sqrt{b^{2} - 4.a.c } }{2.a} = \frac{-(-8L)+/- \sqrt{(-8L)^{2} - 4.12.L^{2} } }{2.12}2.a−(b)+/−b2−4.a.c=2.12−(−8L)+/−(−8L)2−4.12.L2
x = \frac{ 8L+/- \sqrt{( 64L^{2} - 48.L^{2} } }{24} = \frac{ 8L+/- \sqrt{( 16L^{2}}) }{24}248L+/−(64L2−48.L2=248L+/−(16L2)
x = \frac{ 8L+/- 4L }{24}248L+/−4L
x₁ = \frac{ 8L+ 4L }{24}248L+4L
x₁ = 0,5 L
x₂ = \frac{ 8L- 4L }{24}248L−4L
x₂ = 0,166L
Luego, calculamos cual es la segunda derivada de la función del volumen de la caja para aplicar el criterio de la segunda derivada, para conocer si existe un máximo o un mínimo:
V''caja = 24x - 8L < 0
V''caja(x₁) = 24.(0,5L) - 8L
V''caja(x₁) = 12L - 8L
V''caja(x₁) = 4L > 0
V''caja(x₂) = 24.(0,166L) - 8L
V''caja(x₂) = 4L - 8L
V''caja(x₂) = -4L < 0
Sustituimos el valor de x₂ en la ecuación original de volumen y obtenemos el volumen máximo:
Vcaja = 4x³ - 4Lx² + L²x = 4(0,166L)³ - 4L(0,166L)² + L²(0,166L)
Vcaja = 2L³/3 - 2L³/3 + L³/6
Vcaja = L³/6