6. Un cultivo comienza con 100 bacterias, después de 6 horas la cuenta es de 800. El crecimiento es exponencial. (4 puntos)
a) Determina el modelo de crecimiento.
b) Encuentre el número de bacterias después de 4 horas.
c) Después de cuantas horas se ha cuadruplicado el número de bacterias.
d) El cultivo se deteriora cuando llega al millón de bacterias. ¿En qué tiempo se deteriora?
Respuestas a la pregunta
a.- El modelo de crecimiento exponencial es:
y = (2.980480)ⁿ + 99
b.- El Numero de bacterias a las 4 horas es de :
177.9123265
c.- El numero se Bacterias se cuadriplico después de las 5 horas con 23 minutos.
d.- El cultivo tarda 12 horas con 65 min adicionales en dañarse.
Procedimiento:
a) Determina el modelo de crecimiento.
Partiendo de la ecuación genérica exponencial:
y = xⁿ + b
donde:
- Y: bacterias
- X : base a determinar
- n: horas
- b : constante
dados los datos:
- bacterias: 100
- horas : 0 h (inicial)
- constante que no varia: 99
sustituimos en la ecuación y = xⁿ + b
100 = x⁰ + 99
despejamos x
x = 2.980480
Probamos la ecuación:
y = (2.980480)ⁿ + 99
- Para valores de hora (n) cero (0)
y = (2.980480)° + 99
y = 1 + 99
y = 100
Segunda prueba:
- Para valores de hora= 6
y = (2.980480)⁶ + 99
y = 800
Conclusión: La función exponencial cumple con lo necesitado y es: y = (2.980480)° + 99
b) Encuentre el número de bacterias después de 4 horas.
Sustituimos n = 4 :
y = (2.980480)⁴ + 99
y = 177.91232
c) Después de cuantas horas se ha cuadruplicado el número de bacterias.
tomando en cuanto que nuestro valor base sera cuando solo habia 100 bacterias, queremos saber cuanto tardan en ser 400 bacterias:
Usamos la ecuación:
y = (2.980480)ⁿ + 99
donde Y= 400
400 = (2.980480)ⁿ + 99
Despejamos n, aplicando el logaritmo:
log (400 - 99) = log (2.980480)ⁿ
log (400 - 99) = n log (2.980480)
n = 5.2258
Conclusión: A las 5 horas con 23 minutos se cuadruplican las bacterias.
d) El cultivo se deteriora cuando llega al millón de bacterias. ¿En qué tiempo se deteriora?
Hacemos el mismo procedimiento que en la pregunta C, entonces:
Usamos la ecuación:
y = (2.980480)ⁿ + 99
donde Y= 1000000
despejando, nos queda que:
n = 12.65049
Conclusión: El cultivo tarda 12 horas con 65 min adicionales en dañarse.
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