6. Suponga que un juego de lotería consiste en que el jugador elige seis números del 1al 45. Los organizadores, mediante un mecanismo eligen seis bolas de un contenedor lleno de bolas enumeradas del 1 al 45. Si las seis elecciones del jugador coinciden con los seis números ganadores, el jugador gana el premio mayor. Determinar la probabilidad de ganar el premio mayor.
Respuestas a la pregunta
La probabilidad de ganar el premio mayor del juego de lotería, seleccionando sin reemplazo 6 bolas numeradas que coincidan con los números ganadores, es de ¹/₅₈₆₄₄₄₃₂₀₀.
¿Qué es un muestreo sin reemplazo?
En una población finita, se conoce como muestreo sin reemplazo a la extracción de una muestra de uno en uno, descartando los miembros de la población que se van muestreando.
En otras palabras, cada individuo de la población que se selecciona para la muestra se separa de la población y ya no puede ser seleccionado nuevamente. Esto provoca que la población se va reduciendo y que la base de cálculo de las probabilidades cambia.
El juego de lotería planteado es un espacio muestral equiprobable; es decir, cada bola numerada tiene la misma probabilidad de ser extraida.
La probabilidad de extracción de una bola numerada en particular se calcula dividiendo la unidad por el número total de bolas numeradas presentes en el contenedor.
La situación planteada implica extraer seis bolas numeradas de una en una. Estos son eventos independientes, pues lo que suceda en una extracción no es vinculante a lo que pase en la otra, por tanto la probabilidad de ocurrencia del evento seis bolas numeradas, se obtiene multiplicando las probabilidades de extracción de cada una de ellas.
Vamos a hacer un muestreo sin reemplazo: se selecciona una bola numerada, se anota el resultado y se retira del contenedor.
Hay 45 bolas numeradas en el contenedor, entonces
- Probabilidad de la primera bola numerada = P(PBN) = ¹/₄₅
- Probabilidad de la segunda bola numerada = P(SBN) = ¹/₄₄
- Probabilidad de la tercera bola numerada = P(TBN) = ¹/₄₃
- Probabilidad de la cuarta bola numerada = P(CBN) = ¹/₄₂
- Probabilidad de la quinta bola numerada = P(QBN) = ¹/₄₁
- Probabilidad de la sexta bola numerada = P(SeBN) = ¹/₄₀
Para calcular la probabilidad conjunta de las seis bolas numeradas se multiplican las probabilidades de extracción de cada una de ellas.
Probabilidad de un jugador de ganar el premio mayor:
P(ganar) = ( ¹/₄₅ ) ( ¹/₄₄ ) ( ¹/₄₃ ) ( ¹/₄₂ ) ( ¹/₄₁ ) ( ¹/₄₀) = ¹/₅₈₆₄₄₄₃₂₀₀
La probabilidad de ganar el premio mayor, seleccionando 6 bolas numeradas de 45 numeradas del 1 al 45 y que coincidan con los números ganadores, es de ¹/₅₈₆₄₄₄₃₂₀₀.
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